Angle magique

La valeur de l'angle magique est donnée par les expressions

${\displaystyle \theta _{\mathrm {m} }=\arctan {\sqrt {2}}=\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}=\arcsin {\sqrt {2/3}}}$

et sa valeur approchée est :

${\displaystyle \theta _{\mathrm {m} }\approx 0{,}955\,32\ \approx 54^{\circ }44'.}$

Les décimales de sa valeur en radians sont données par la suite A195696 de l'OEIS et celles de sa valeur en degrés par la suite A210974 de l'OEIS.

L'angle que forment, deux à deux, les quatre segments qui partent du centre d'un tétraèdre régulier vers les quatre sommets, appelé angle tétraédrique, est le double de l'angle magique, soit ${\displaystyle 2\theta _{m}=2\arctan {\sqrt {2}}=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)=\pi -\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)=\arcsin \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 109^{\circ }28'}$.

Cet angle est l'angle dièdre de l'octaèdre régulier, et l'angle obtus du losange, face du dodécaèdre rhombique.

il intervient en géométrie moléculaire tétraédrique et dans le calcul des dimensions d'une alvéole d'abeille.

Les décimales de sa valeur en radians sont données par la suite A156546 de l'OEIS et celles de sa valeur en degrés par la suite A247412 de l'OEIS.

L'angle dièdre du tétraèdre régulier est le supplémentaire de l'angle tétraédrique, soit ${\displaystyle 2\operatorname {arccot} {\sqrt {2}}=\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)=\pi -2\theta _{m}\approx 70^{\circ }32'}$,  A137914.

C'est aussi l'angle aigu du losange, face du dodécaèdre rhombique.

Le tronc de cône de révolution de volume maximal pour un rayon de patron donné a pour angle au sommet également le double de l'angle magique.