Anneau opposé

Pour tout ${\displaystyle a\in A}$, soit ${\displaystyle r_{a}\in {\rm {End}}_{A}(A)}$ défini par : ${\displaystyle r_{a}(x)=x\cdot _{A}a}$. L'application ${\displaystyle r_{a}}$ est une bijection de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle {\rm {End}}_{A}(A)}$, de bijection réciproque ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$. En effet, pour tout ${\displaystyle f\in {\rm {End}}_{A}(A)}$, ${\displaystyle r_{f(1)}(x)=x\cdot _{A}f(1)=f(x)}$. C'est un isomorphisme de ${\displaystyle A^{\rm {op}}}$ dans ${\displaystyle {\rm {End}}_{A}(A)}$, le point essentiel étant que ${\displaystyle (r_{a}\circ r_{b})(x)=x\cdot _{A}b\cdot _{A}a=x\cdot _{A}\left(a\cdot _{A^{\rm {op}}}b\right)=r_{a\cdot _{A^{\rm {op}}}b}(x)}$. Par conséquent, ${\displaystyle A=(A^{\rm {op}})^{\rm {op}}\simeq \left({\rm {End}}_{A}(A)\right)^{\rm {op}}}$.