Anniversaire de Cheryl

Une première version du casse-tête « L'anniversaire de Cheryl », avec des noms et des dates différents, est apparue sur un forum en ligne en 2006^[4]. La version SASMO de la question a été publiée sur Facebook par l'animateur de télévision singapourien Kenneth Kong le 10 avril 2015 et est rapidement devenue virale^[3]. Kong a publié l'énigme suite à une discussion avec sa femme, pensant à tort qu'il s'agissait d'une question de mathématiques pour un examen de primaire, destiné aux élèves de 10 à 11 ans^[5], alors qu'elle faisait en réalité partie des Olympiades de mathématiques des écoles de Singapour et d'Asie 2015, destinées aux élèves de 14 ans, un fait que Kong a reconnu par la suite^[6]. Ces olympiades se sont déroulées le 8 avril 2015 et ont rassemblé 28 000 participants venant de Singapour, de Thaïlande, du Vietnam, de Chine et du Royaume-Uni. Selon les organisateurs de SASMO, le quiz visait les 40 % meilleurs candidats et avait pour objectif de « sélectionner les meilleurs élèves ». Le directeur exécutif de SASMO a déclaré à la BBC qu’« il y a une place pour une forme de pensée logique et analytique, que ce soit sur le lieu de travail ou dans notre vie quotidienne »^[7].

La question, qui est la 24ème d'une liste de 25 questions, se formule de la façon suivante^[5] :

Albert et Bernard se sont liés d'amitié avec Cheryl et veulent savoir quand est son anniversaire. Cheryl leur donne une liste de 10 dates possibles :

• 15 mai, 16 mai, 19 mai
• 17 juin, 18 juin
• 14 juillet, 16 juillet
• 14 août, 15 août, 17 août

Cheryl annonce ensuite séparément à Albert et à Bernard le mois et le jour de son anniversaire.

Albert : Je ne sais pas quand est l'anniversaire de Cheryl, mais je sais que Bernard ne le sait pas non plus.
Bernard : Au début, je ne savais pas quand était l'anniversaire de Cheryl, mais maintenant je le sais.
Albert : Alors moi aussi je sais quand est l'anniversaire de Cheryl.

Saurez vous trouver quand est l'anniversaire de Cheryl ?

La bonne réponse à la question est le 16 juillet^[8].

Les dates possibles peuvent être inscrites dans un tableau :

La réponse peut être trouvée en éliminant progressivement les dates impossibles^[9]. C’est sous cette forme qu’Alex Bellos a présenté son résultat dans le journal britannique The Guardian ^[10]:

Albert : Je ne sais pas quand est l'anniversaire de Cheryl, mais je sais que Bernard ne le sait pas [non plus].

Albert ne connaît que le mois, et comme chaque mois peut avoir plusieurs dates, il est évident qu'il ignore la date de son anniversaire. La première partie de la phrase est donc une évidence dont on ne peut rien déduire de nouveau.

Le seul moyen pour Bernard de connaître la date en ne connaissant qu'un seul nombre serait que Cheryl lui ait dit 18 ou 19, car parmi les dix dates possibles, ce sont les seuls quantièmes qui n'apparaissent qu'une seule fois, le 19 en mai et le 18 en juin.

Pour qu'Albert sache que Bernard ne le sait pas, le mois que Chéryl a dit à Albert doit donc être juillet ou août, qui n'ont ni 18 ni 19 comme date possible.

Ligne 2) Bernard : Au début, je ne savais pas quand était l'anniversaire de Cheryl, mais maintenant je le sais.

Bernard en a déduit que le mois connu d'Albert est août ou juillet. S'il connaît la date complète, c'est que Cheryl lui a dit 15, 16 ou 17, car si elle lui avait dit 14, il n'aurait pas su s'il s'agissait d'août ou de juillet. Chacun des nombres 15, 16 et 17 désigne un mois précis, tandis que 14 peut désigner l'un ou l'autre.

Ligne 3) Albert : Alors je connais aussi la date d'anniversaire de Cheryl.

Albert en a donc déduit que les dates possibles sont le 16 juillet, le 15 août et le 17 août. S'il connait la date, c'est que Cheryl lui a dit juillet. Si elle lui avait dit août, il n'aurait pas pu en déduire la date avec certitude.

La réponse est donc le 16 juillet.

Après que la question est devenue virale, certaines personnes ont suggéré le 17 août comme réponse alternative^[11]. Cette réponse a été rejetée comme invalide par les Olympiades de mathématiques scolaires de Singapour et d'Asie^[11].

Les solutions qui aboutissent à cette réponse ne tiennent pas compte de la dernière partie de :

Albert : Je ne sais pas quand est l'anniversaire de Cheryl, mais je sais que Bernard ne le sait pas non plus.

qui informe Bernard sur ce qui a permis à Albert de déduire cela. Ce dernier n'aurait connu cette date que si elle avait été unique, le 18 ou le 19. Albert en déduit donc que Bernard ne la connaît pas car il a entendu un mois qui ne contient pas ces dates (juillet ou août). Fort de cette constatation, Bernard peut exclure mai et juin, ce qui lui permet de trouver une date unique même si on lui donne le 15 ou le 16, et non pas seulement le 17. Les organisateurs de SASMO ont signalé^[12] que le 17 août serait la solution si le dialogue commençait par Bernard disant qu'il ne connaissait pas l'anniversaire de Cheryl :

Bernard : Je ne sais pas quand est l'anniversaire de Cheryl.

Albert : Je ne connais toujours pas la date de l'anniversaire de Cheryl.
Bernard : Au début, je ne savais pas quand était l'anniversaire de Cheryl, mais maintenant je le sais.

Albert : Alors je connais aussi la date de l'anniversaire de Cheryl.

Ce serait également la bonne réponse si la première déclaration était faite par Cheryl :

Cheryl : Bernard ne sait pas quand est mon anniversaire.

Albert : Je ne sais pas non plus quand est l'anniversaire de Cheryl.
Bernard : Au début, je ne savais pas quand était l'anniversaire de Cheryl, mais maintenant je le sais.

Albert : Alors je sais aussi quand est l'anniversaire de Cheryl.

Remarque : Les dernières phrases d'Albert dans les deux exemples alternatifs ne sont là que pour compléter le dialogue ; elles ne sont pas nécessaires au lecteur pour déterminer que la date de l'anniversaire de Cheryl est le 17 août.