Antichaîne forte

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En théorie des ordres, une partie A d'un ensemble partiellement ordonné P est une antichaîne descendante forte s'il s'agit d'une antichaîne dans laquelle aucune paire d'éléments distincts n'a de borne inférieure dans P^[1].

${\displaystyle \forall x,y\in A\;[x\neq y\rightarrow \neg \exists z\in P\;[z\leq x\land z\leq y]].}$

Par exemple, soit P un ensemble de parties, partiellement ordonné par l'inclusion et clos pour la relation de sous-ensemble (si X est un élément de P alors les sous-ensembles de X sont également dans P), mais ne contenant pas l'ensemble vide. Alors une antichaîne forte est simplement une famille d'ensembles deux à deux disjoints.

Une antichaîne ascendante forte B est une antichaîne de P dans lequel aucune paire d'éléments distincts n'a de borne supérieure commune dans P.

On trouve fréquemment antichaîne forte sans qu'il soit précisé s'il s'agit d'une antichaîne descendante ou ascendante.

Dans le contexte du forçage, le terme « fort » est souvent omis ^[2], et dans ce cas, le type d'antichaîne le plus faible est appelé antichaîne faible.

Si (P , ≤) est un ensemble partiellement ordonné, et s'il existe x, y ∈P distincts tels que { x , y } est une antichaîne forte, alors (P , ≤) ne peut pas être un treillis (ni même un demi-treillis), car, par définition, deux éléments d'un treillis (ou d'un demi-treillis) doivent avoir une borne inférieure commune. Ainsi, les treillis ne possèdent que des antichaînes fortes triviales (c'est-à-dire des antichaînes fortes contenant au plus un seul élément).