Antilimite

En analyse, l'antilimite désigne la limite (finie) qu'on peut associer à une suite divergente. On peut la calculer par une méthode de sommation, une technique d'accélération de convergence ou par prolongement analytique. Le terme a été introduit par Daniel Shanks en 1955.

Dans son article de 1955, Daniel Shanks s'intéresse aux transformations de suites de la forme

s_{n}=s+\sum _{i=0}^{k}c_{i}g_{i}(n),\ \forall n\in \mathbb {N} .

avec $s$ , $c 0$ , ..., $c k$ , des constantes et $g 0$ , ..., $g k$ , des fonctions. Dans le cas où $(s n)$ ne converge pas, Shanks désigne $s$ comme l'antilimite de la suite et dit que « $(s n)$ diverge de $s$ »^[1].

Par prolongement analytique

On se place dans le cas où la suite $(s n)$ est une série divergente :

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\longrightarrow +\infty

On considère la série génératrice liée :

s_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}

Si cette série de fonctions converge sur un disque de convergence de rayon $0 < ρ \leq 1$ , il existe une fonction $S$ telle :

\forall x\in [0,\rho [,\,\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=S(x).

Cette fonction $S$ peut être définie hors du disque de convergence, notamment en $x = 1$ et y avoir une valeur finie. Cette valeur $s = S (1)$ est alors appelée antilimite de la série $\sum a n$ .

Exemples

Une série divergente peut se voir associer des valeurs finies par des procédés de sommation, comme la série de Grandi

\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}={\frac {1}{2}}

ou la série alternée des entiers

\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}n={\frac {1}{4}}

La suite de sommes partielles

s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-2)^{k-1}}{k}}

est grossièrement divergente, cependant, on peut reconnaitre le développement en série entière du logarithme naturel :

-{\frac {1}{x}}\ln(1-x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {x^{n-1}}{n}}

pris en $x = -2$ , qui est hors du disque de convergence (le rayon de convergence de cette série vaut 1). Ainsi, $1 / 2 ln(3)$ est l'antilimite de la série :

\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n-1}}{n}}={\frac {1}{2}}\ln(3).

Exemples

Voir aussi

Références

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