Arbre couvrant

Dans certains cas, le nombre ${\displaystyle a(G)}$ d'arbres couvrants d'un graphe connexe ${\displaystyle G}$ est facilement calculable. Par exemple, si ${\displaystyle G}$ lui-même est un arbre, alors ${\displaystyle a(G)=1}$, tandis que si ${\displaystyle G}$ est un n-cycle, alors ${\displaystyle a(G)=n}$. Pour un graphe quelconque, ${\displaystyle a(G)}$ peut être calculé grâce au théorème de Kirchhoff.

La formule de Cayley permet aussi de calculer directement ${\displaystyle a(G)}$ pour un graphe complet ${\displaystyle K_{n}}$. On obtient que ${\displaystyle a(G)=n^{n-2}}$.

Si G est un graphe biparti complet ${\displaystyle K_{p,q}}$, alors ${\displaystyle a(G)=p^{q-1}q^{p-1}}$ ^[1].

Les arbres couvrants d’un graphe forment un matroïde, et peuvent donc être énumérés par un algorithme avec délai polynomial.

Un problème algorithmique classique est de trouver, dans un graphe pondéré, un arbre couvrant de poids minimal. Le poids peut représenter la difficulté qu'il y a à emprunter une liaison, par exemple une durée de traversée de la liaison élevée. Dans le cas du graphe pondéré aussi, on dispose de plusieurs algorithmes (algorithme de Borůvka, l'algorithme de Prim, algorithme de Kruskal…).