Arc tangente

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la valeur d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

Notation

\arctan(x)

Réciproque

\tan(x)

sur

\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[

Dérivée

{\frac {1}{1+x^{2}}}

Primitives

x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C

Faits en bref Notation, Réciproque ...

Fonction arc tangente

Représentation graphique de la fonction arc tangente.

Notation	$\arctan(x)$
Réciproque	$\tan(x)$ sur $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$
Dérivée	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
Primitives	$x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$

Principales caractéristiques
Ensemble de définition	$\mathbb {R}$
Ensemble image	$\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$
Parité	impaire

Valeurs particulières
Valeur en zéro	0
Limite en +∞	${\frac {\pi }{2}}$
Limite en −∞	$-{\frac {\pi }{2}}$

Particularités
Asymptotes	$y={\frac {\pi }{2}}$ en $+\infty$ $y=-{\frac {\pi }{2}}$ en $-\infty$

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La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique tangente à l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ . Elle est notée arctan^[1] ou Arctan ^[2], mais aussi Atan ou arctg en français et atan ou tan⁻¹ en anglais (attention de bien écrire ${\frac {1}{\tan x}}=(\tan x)^{-1}$ et non $\tan ^{-1}(x)$ ).

Pour tout réel $x$ :

y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[

.

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ par une réflexion d'axe la droite d'équation $y = x$ (puisqu'elle en est la fonction réciproque).

Cette fonction réelle se prolonge au plan complexe en une fonction holomorphe sur $\mathbb {C} \setminus \left(]-\infty ,-1]{\rm {i}}\cup [1,+\infty [{\rm {i}}\right)$ .

Parité

La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel $x$ ) $\arctan(-x)=-\arctan x$ .

Dérivée

La fonction $arctan$ est dérivable (voir à dérivée d'une fonction réciproque) et vérifie^[3] : $\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ .

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor en 0 de la fonction arc tangente^[4] est : $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots$ .

Bien que fonction arc tangente soit définie pour tout réel, cette série entière converge vers $arctan$ uniquement pour $|x|\leqslant 1$ . On peut donc énoncer :

\forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots

.

Démonstration

La série entière

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}

est nulle en 0, son rayon de convergence vaut 1, et sa dérivée (sur l'intervalle $]-1,1[$ est égale à la série géométrique

\sum _{k=0}^{\infty }(-x^{2})^{k}={\frac {1}{1+x^{2}}}=\arctan '(x)

.

Elle coïncide donc sur cet intervalle avec la fonction $arctan$ . De plus, d'après la démonstration du test de Dirichlet (par sommation par parties), cette série entière converge uniformément sur l'intervalle fermé $[-1,1]$ .

La fonction $arctan$ peut être utilisée pour calculer des approximations de $π$ ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas $x = 1$ du développement en série ci-dessus :

{\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots

.

Équation fonctionnelle

On peut déduire $arctan(1/ x)$ de $arctan x$ et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x={\frac {\pi }{2}}

;

\forall x\in \mathbb {R} _{-}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x=-{\frac {\pi }{2}}

.

Démonstrations

Démontrons la première équation (la seconde s'en déduit par imparité, ou se démontre de même).

Une première méthode est de vérifier que la dérivée est nulle.

On a en effet :

\arctan 'x={\frac {1}{1+x^{2}}}

et

\left(\arctan {\frac {1}{x}}\right)'={\frac {-1}{x^{2}}}~{\frac {1}{1+{\frac {1}{x^{2}}}}}={\frac {-1}{1+x^{2}}}

donc

\left(\arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x\right)'=0

.

On en déduit que $arctan(1/ x) + arctan x$ est constante sur $]0, +\infty[$ , et l'on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant par exemple la valeur prise en $x = 1$ .

Une deuxième méthode est de remarquer que pour tout $x > 0$ , si $θ$ désigne l'arctangente de $x$ alors

{\frac {1}{x}}={\frac {1}{\tan \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\qquad {\text{et}}\qquad 0<{\frac {\pi }{2}}-\theta <{\frac {\pi }{2}},\quad {\text{d'où}}

\arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\theta ={\frac {\pi }{2}}-\arctan x

.

Une troisième méthode est de déduire cette formule de la formule remarquable ci-dessous en faisant tendre $y$ vers $1/ x$ par valeurs inférieures.

Fonction réciproque

Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ : $\forall x\in \mathbb {R} \quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ .

Ainsi, pour tout réel $x$ , $tan(arctan x) = x$ . Mais l'équation $arctan(tan y) = y$ n'est vérifiée que pour $y$ compris entre $-{\frac {\pi }{2}}$ et ${\frac {\pi }{2}}$ .

Intégration

Primitive

La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 s'obtient grâce à une intégration par parties :

\int _{0}^{x}\arctan t\;\mathrm {d} t=x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)

.

Utilisation de la fonction arc tangente

Article détaillé : Primitives de fonctions rationnelles.

La fonction arc tangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

{\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}

Si le discriminant $D = b 2 - 4 ac$ est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par

u={\frac {2ax+b}{\sqrt {|D|}}}

qui donne pour l'expression à intégrer

{\frac {4a}{|D|}}~{\frac {1}{1+u^{2}}}.

L'intégrale est alors

{\frac {2}{\sqrt {|D|}}}\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {|D|}}}

.

Formule remarquable

Si $xy \neq 1$ , alors^[3] :

\arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi

où

k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1,\\1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}

D'où, si $|x|\neq 1$ , alors :

2\arctan x=\arctan {\frac {2x}{1-x^{2}}}+k\pi

où

k={\begin{cases}0&{\text{si }}|x|<1,\\1&{\text{si }}x>1,\\-1&{\text{si }}x<-1.\end{cases}}

De même, pour $y=1$ , on peut trouver une formule impliquant l'involution $x\mapsto {\frac {1-x}{1+x}}$ :

\arctan x+\arctan \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)={\frac {\pi }{4}}-k\pi

avec

k={\begin{cases}0&{\text{si }}x>-1,\\1&{\text{si }}x<-1.\end{cases}}

Autres utilisations

La forme en S de cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions dites sigmoïdes^{[citation nécessaire]}. Par rapport à la fonction logistique de Verhulst et la fonction erf, elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.

Extension aux nombres complexes

Comme, pour $u$ complexe différent de $\pi /2+k\pi ,k\in \mathbb {Z}$ , la fonction tangente complexe vérifie $\tan u={\frac {{\rm {e}}^{2{\rm {iu}}}-1}{{\rm {e}}^{2{\rm {i}}u}+1}}$ , la relation $\tan u=z$ équivaut à ${\rm {e}}^{2{\rm {i}}u}={\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}$ . On définit donc, pour $z$ complexe différent de ${\rm {i{\text{ et }}-{\rm {i}}}}$ la fonction complexe multivaluée arc tangente par^[5] :

{\rm {arctan}}\ z={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\ln }{\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}

,

fonction définie à $k\pi$ près, la fonction logarithme népérien complexe étant définie à $2{\rm {i}}k\pi$ près.

La détermination principale de la fonction arc tangente complexe est alors définie pour $z$ dans $\mathbb {C}$ privé des deux demi-droites $]-\infty, -1]i$ et $[1, +\infty[i$ de l'axe imaginaire pur par^[6]

{\rm {Arctan}}\ z={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\rm {L}}{\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}

,

où ${\rm {L}}$ est la détermination principale du logarithme népérien.

Cette définition concorde avec celle de la fonction $\arctan$ définie sur les réels.

Démonstration

Pour $x$ réel, la définition ci-dessus donne ${\rm {{Arctan}\ x={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\rm {L}}{\frac {1+{\rm {i}}x}{1-{\rm {i}}x}}={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\rm {L}}{\frac {(1+{\rm {i}}x)^{2}}{1+x^{2}}}={\frac {1}{\rm {i}}}{\rm {L}}{\frac {1+{\rm {i}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}}={\frac {1}{\rm {i}}}{\rm {i}}{\text{ Arg}}(1+{\rm {i}}x)={\text{ Arg}}(1+{\rm {i}}x)}}$ qui est bien égal à $\arctan x$ .

Comme la fonction tangente complexe définit une bijection de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R}$ dans $\mathbb {C}$ privé des deux demi-droites $]-\infty, -1]i$ et $[1, +\infty[i$ de l'axe imaginaire pur, prolongeant la fonction tangente réelle, la détermination principale de la fonction arc tangente complexe vérifie : $\forall z\in \mathbb {C} \setminus {\big (}{\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right){\big )}\quad u={\text{Arctan}}z\iff \tan u=z{\text{ et }}u\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R}$ . Le développement en série entière, valable pour $|z|\leqslant 1,z\neq {\text{i}},-{\text{i}}$ est : ${\text{Arctan }}z=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}$ ^[5]^,^[6].