Argument de Frattini

Dans les hypothèses ci-dessus (G est un groupe, H un sous-groupe normal fini de G et P un sous-groupe de Sylow de H), prouvons que G = H N_G(P). Soit g un élément de G. Il s'agit de prouver que g appartient à H N_G(P). Puisque H est supposé normal dans G, l'automorphisme intérieur x ↦ gxg⁻¹ de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H. L'image gPg⁻¹ de P par cet automorphisme de H est un sous-groupe de Sylow de H du même ordre que P, donc gPg⁻¹ est conjugué de P dans H. Ceci signifie qu'il existe un élément h de H tel que gPg⁻¹ = hPh⁻¹. Alors h⁻¹gPg⁻¹h = P, autrement dit h⁻¹g ∈ N_G(P), d'où g ∈ H N_G(P), ce qui, comme nous l'avons vu, démontre le théorème^[1].

L'argument de Frattini permet par exemple de démontrer^[2] que si G est un groupe fini, P un sous-groupe de Sylow de G et M un sous-groupe de G contenant N_G(P) (normalisateur de P dans G), alors M est son propre normalisateur dans G. (Appliquer l'argument de Frattini au groupe N_G(M), à son sous-groupe normal M et au sous-groupe de Sylow P de M. On trouve

${\displaystyle (1)\qquad N_{G}(M)=MN_{N_{G}(M)}(P)}$.

Il est clair que ${\displaystyle N_{N_{G}(M)}(P)\subseteq N_{G}(P)\subseteq M}$, donc le second membre de (1) est égal à M, d'où ${\displaystyle N_{G}(M)=M}$.)