Atome (théorie de la mesure)

Soit un espace mesurable ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ et une mesure ${\displaystyle \mu }$ sur cet espace, un ensemble ${\displaystyle A\subset X}$ dans ${\displaystyle \Sigma }$ est appelé un atome si $${\displaystyle \mu (A)>0}$$ et si pour tout sous-ensemble mesurable ${\displaystyle B\subseteq A}$, soit ${\displaystyle \mu (B)=0}$ ou ${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$. ^[1]

La classe d'équivalence de ${\displaystyle A}$ est définie par $${\displaystyle [A]:=\{B\in \Sigma$$ :\mu (A\Delta B)=0\},} où ${\displaystyle \Delta }$ est l'opérateur d'union disjointe. Si ${\displaystyle A}$ est un atome alors tous les sous-ensembles de ${\displaystyle [A]}$ sont des atomes et ${\displaystyle [A]}$ est appelée classe atomique^[2]. Si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure ${\displaystyle \sigma }$-finie, il existe une infinité dénombrable de classes atomiques.

• On considère l'ensemble X = {1, 2, ..., 9, 10} et soit la tribu ${\displaystyle \Sigma }$ l'ensemble des parties de X. On définit la mesure ${\displaystyle \mu }$ comme le cardinal d'un ensemble, c'est-à-dire le nombre d'éléments qui le composent. Alors, chaque singleton { i }, pour i = 1, 2, ..., 9, 10, est un atome de mesure 1.
• La mesure de Lebesgue sur la droite réelle ne possède pas d'atomes.

Une mesure ${\displaystyle \sigma }$-finie ${\displaystyle \mu }$ sur un espace mesurable ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ est dit atomique ou purement atomique si tout ensemble mesurable de mesure positive contient un atome. Cela revient à dire qu'il existe une partition dénombrable de ${\displaystyle X}$ formé d'atomes jusqu'à un ensemble nul^[3]. L'hypothèse de ${\displaystyle \sigma }$-finitude est essentielle. Sinon, on peut considérer l'espace ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$ où ${\displaystyle \nu }$ désigne la mesure de comptage. Cet espace est atomique (on peut remarquer que tous les atomes étant des singletons), mais il ne peut être partitionné en une union disjointe d'une infinité dénombrable d'atomes disjoints, ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ et un ensemble nul ${\displaystyle N}$ puisque l'union dénombrable des singletons est un ensemble dénombrable, et que l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable, le complément ${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ devrait être indénombrable, car sa ${\displaystyle \nu }$-mesure serait infinie, ce qui est absurde car c'est un ensemble vide. La validité du résultat pour des espaces ${\displaystyle \sigma }$-finis découle de la preuve pour les espaces de mesures finies en remarquant que l'union dénombrable d'unions dénombrables est encore une union dénombrable, et que les unions dénombrables d'ensembles nuls sont nulles.

Une mesure atomique ${\displaystyle \sigma }$-finie ${\displaystyle \mu }$ est dite discrète si l'intersection des atomes de toute classe atomique est non vide. Cela équivaut ^[4] à dire que ${\displaystyle \mu }$ est la somme pondérée d'une infinité dénombrable de mesures de Dirac, c'est-à-dire qu'il existe une suite ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ de points dans ${\displaystyle X}$, et une suite ${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$ de nombres réels positifs (les poids) tels que ${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$, ce qui signifie que ${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$ pour tout ${\displaystyle A\in \Sigma }$. On peut alors choisir chaque point ${\displaystyle x_{k}}$ comme un point commun des atomes dans la ${\displaystyle k}$ -ème classe atomique.

Une mesure discrète est atomique, mais l'implication réciproque est fausse : pour ${\displaystyle X=[0,1]}$, avec ${\displaystyle \Sigma }$ la tribu des sous-ensembles dénombrables et co-dénombrables, ${\displaystyle \mu =0}$ pour des sous-ensembles dénombrables et ${\displaystyle \mu =1}$ pour des sous-ensembles co-dénombrables. Il existe alors une seule classe atomique, celle formée par les sous-ensembles co-dénombrables. La mesure ${\displaystyle \mu }$ est atomique, mais l'intersection des atomes de la classe atomique unique est vide et ${\displaystyle \mu }$ ne peut pas être exprimée comme une somme de mesures de Dirac.

Si chaque atome est équivalent à un singleton, alors ${\displaystyle \mu }$ est discrète si et seulement si elle est atomique. Dans ce cas, les éléments ${\displaystyle x_{k}}$ tels que définis supra sont des singletons atomiques, par conséquent uniques. Toute mesure finie dans un espace métrique séparable muni des ensembles de Borel satisfait cette condition^[5].

Une mesure qui ne contient pas d'atomes est appelée mesure non atomique ou mesure diffuse. Autrement dit, une mesure ${\displaystyle \mu }$ est non atomique si, pour tout ensemble mesurable ${\displaystyle A}$ avec ${\displaystyle \mu (A)>0}$ il existe un sous-ensemble mesurable ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle A}$ tel que $${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

Une mesure non atomique ayant au moins une valeur positive possède une infinité de valeurs distinctes, en effet en partant d'un ensemble ${\displaystyle A}$ tel que ${\displaystyle \mu (A)>0}$, on peut construire une suite décroissante d'ensembles mesurables $${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$ tels que $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

Cela peut ne pas être vrai pour les mesures comportant des atomes ; voir le premier exemple ci-dessus.

On peut mettre en évidence que les mesures non atomiques possèdent en réalité un continuum de valeurs. En effet, si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure non atomique et ${\displaystyle A}$ est un ensemble mesurable avec ${\displaystyle \mu (A)>0,}$ alors pour tout nombre réel ${\displaystyle b}$ satisfaisant $${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$ il existe un sous-ensemble mesurable ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle A}$ tel que $${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

Ce théorème est dû à Wacław Sierpiński^[6],[7]. Il est l'équivalent du théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions continues.

Esquisse de démonstration du théorème de Sierpiński sur les mesures non atomiques. Un énoncé légèrement plus fort, qui simplifie toutefois la démonstration, est que si ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ est un espace de mesure non atomique et ${\displaystyle \mu (X)=c,}$ il existe une fonction ${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$ qui est monotone par rapport à l'inclusion, et réciproque de de ${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to [0,c].} Autrement dit, il existe une famille à un paramètre d'ensembles mesurables ${\displaystyle S(t)}$ tel que pour tous ${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$$${\displaystyle S(t)\subseteq S(t'),}$$$${\displaystyle \mu \left(S(t)\right)=t.}$$ La démonstration découle aisément du lemme de Zorn appliqué à l'ensemble de toutes les sections partielles monotones. ${\displaystyle \mu }$ : $${\displaystyle \Gamma$$ :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,\forall t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},} classés par inclusion de graphiques, ${\displaystyle \mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').}$ Il est alors courant de montrer que chaque chaîne dans ${\displaystyle \Gamma }$ a une limite supérieure dans ${\displaystyle \Gamma ,}$ et que tout élément maximal de ${\displaystyle \Gamma }$ a un domaine ${\displaystyle [0,c],}$ ce qui permet de démontrer l'affirmation.

• Atome (théorie de l'ordre) — un concept analogue en théorie de l'ordre
• Fonction delta de Dirac
• Événement élémentaire, également connu sous le nom d'événement atomique