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Saleh est né dans le village de Hafir Meshou, au nord de Dongola. Il a fréquenté l'école primaire Al-Hafir et a ensuite déménagé à l'école centrale Al-Barqeeq pour recevoir son éducation méditerranéenne. Il a étudié à l'école secondaire de Dongola de 1964 à 1968. Il est diplômé de l'Académie militaire soudanaise avec le grade de lieutenant en 1973. Il a servi comme commandant des forces spéciales de 1985 à 1987 et de nouveau de 1988 à 1989.
En tant qu'officier de l'armée, Saleh a pris part au coup d'État militaire de qui a porté Omar el-Béchir au pouvoir et il a été membre du Conseil du commandement révolutionnaire pour le salut national, qui a gouverné le Soudan après le coup d'État. Saleh a occupé des postes importants dans les agences de sécurité soudanaises. Il a été directeur du service de sécurité nationale de 1990 à 1995, ministre de l'Intérieur de 1995 à 1998, ministre des Affaires présidentielles de 1998 à 2000, ministre de la Défense de 2000 à 2005, et à nouveau ministre des Affaires présidentielles de 2005 à 2013.
En 2012, il a été nommé secrétaire général adjoint du Mouvement islamique.
Saleh a été nommé premier vice-président le dans le cadre d'un remaniement de la direction à la suite des manifestations de 2013. Saleh a été répandu comme un successeur possible d'Omar al-Bashir.
Le , il a été nommé par le président Omar el-Béchir comme premier Premier ministre du Soudan depuis la suppression de ce poste en 1989. Le poste de Premier ministre a été rétabli avec des pouvoirs limités, tandis que la plupart des pouvoirs sont restés entre les mains du président. En tant que Premier ministre, Saleh a conservé son poste de premier vice-président. Il a prêté serment en tant que Premier ministre le . Deux mois plus tard, le , Saleh a annoncé la composition du nouveau gouvernement, qui comptait 31 ministres et 44 secrétaires d'État.