Base de Sylow

Soit G un groupe (au sens mathématique) fini. Un ensemble B de sous-groupes de G est appelé^[1] une base de Sylow de G si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. P désignant l'ensemble des diviseurs premiers de l'ordre de G, il existe une bijection f de P sur B telle que, pour tout élément p de P, f(p) soit un p-sous-groupe de Sylow de G ;
2. si S₁ et S₂ sont deux éléments de B, alors S₁ S₂ est un sous-groupe de G (ce qui, comme on le sait^[2], revient à dire que S₁ S₂ = S₂ S₁).

Philip Hall a démontré^[3] qu'un groupe fini admet une base de Sylow si et seulement s'il est résoluble^[4]. Pour démontrer que l'existence d'une base de Sylow entraîne la résolubilité, on utilise le théorème de résolubilité de Burnside.