Abilov mène une carrière d'homme d'affaires avant de se lancer dans la politique en cofondant le parti Ak Jol avec Galymjan Jakiyanov.
Il est l'un des membres les plus éminents de l'opposition kazakhe et coprésident d'Ak Jol. Lors des législatives de 2002, sa candidature avec l'étiquette Ak Jol dans l’oblys de Karaganda, au centre du pays, a été invalidée quelques heures avant le scrutin pour des motifs mineurs. Cependant, lors de l'élection, de nombreux votants ont écrit «Nous soutenons Abilov» sur leur bulletin. Le candidat et sénateur Moukhtar Tinikeïev(ru) a remporté cette élection.