Carl Johan Malmsten

Bien que Malmsten soit surtout connu pour ses travaux en analyse complexe^[1], il a aussi apporté de grandes contributions à d'autres branches des mathématiques, mais ses résultats ont été injustement oubliés, ou attribués à d'autres, souvent bien postérieurs. Ainsi, ce n'est qu'en 2012 que Iaroslav Blagouchine découvrit que Malmsten avait été le premier à déterminer la valeurs de plusieurs intégrales et séries liées aux fonctions gamma et zêta, parmi lesquelles des séries attribuées jusque-là à Kummer et des intégrales calculées par Ilan Vardi^[3]. Malmsten obtint ainsi en 1842 l'ensemble des intégrales suivantes, mettant en jeu la fonction logarithme itéré^[3] :

${\displaystyle \,\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x\,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left({\frac {\Gamma {(3/4)}}{\Gamma {(1/4)}}}{\sqrt {2\pi \,}}\right)}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {\pi }{2}}-\gamma \right),}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\ln \left({\frac {\sqrt[{6}]{32\pi ^{5}}}{\Gamma {(1/6)}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\ln \left({\frac {\Gamma {(2/3)}}{\Gamma {(1/3)}}}{\sqrt[{3}]{2\pi }}\right)}$

et plus généralement :

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{\frac {\varphi }{\pi }}\,\Gamma \!\left(\!{\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!{\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}}\right\},\qquad \varphi \in ]-\pi ,0[\cup ]0,\pi [}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,\mathrm {d} x\\\ &={\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac {\pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n}}\cdot \ln \left(\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}{\Gamma \!\left(\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right),\qquad n=3,5,7,\ldots \end{aligned}}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln 2\pi +{\frac {\pi }{n}}\sum _{l=1}^{n-1}(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}}\right\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{cases}}}$

(pour lesquelles ${\displaystyle \Gamma }$ désigne la fonction gamma et ${\displaystyle \gamma }$ la constante d'Euler)

Beaucoup de ces intégrales furent redécouvertes par plusieurs auteurs à partir de 1988, en particulier Vardi^[4], Adamchik^[5], Medina^[6], et Moll^[7] ; la première a été souvent nommée intégrale de Vardi , et figure sous ce nom sur MathWorld^[8] ou sur le site de l'OEIS^[9]. Malmsten obtint les formules précédentes par des manipulations de séries, mais les auteurs les ayant redécouvertes utilisèrent des intégrales de contour^[3], la fonction zêta de Hurwitz^[5], les polylogarithmes^[6], ou encore les fonctions L^[4]. Plus de 70 intégrales analogues plus complexes ont été découvertes par Adamchik^[5] et Blagouchine^[3], par exemple les deux suivantes^[5] :

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left[\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right]}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi }}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}}$

Certaines de ces intégrales font apparaitre des arguments complexes de la fonction gamma (ce qui est plutôt inhabituel), par exemple^[3] :

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi }$,

et d'autres sont liées aux constantes de Stieltjes^{[3],[10],[11]}.

En 1842, Malmsten détermina également la valeur de plusieurs séries mettant en jeu des logarithmes, par exemple

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}\left(\ln \pi -\gamma \right)-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$

et

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}\left(\gamma +\ln 2\right)-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi ,}$

lesquelles furent redécouvertes (sous une forme légèrement différente) par Ernst Kummer en 1847^[3].

Malsmten apporta également une contribution notable à la théorie des fonctions L, obtenant en 1842 l'importante équation fonctionnelle

${\displaystyle L(s)\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

et son analogue pour la fonction M définie par

${\displaystyle M(s)\equiv {\frac {2}{\sqrt {3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{-s}\left({\frac {\pi s}{2}}\right),}$

(dans ces deux formules, 0<s<1). La première avait été découverte par Leonhard Euler en 1749^[12], mais Malmsten en donna une démonstration rigoureuse. Quatre ans plus tard, Malmsten obtint d'autres formules analogues, cas particuliers de l'équation fonctionnelle de Hurwitz.

Enfin, en 2014, Blagouchine découvrit^[10] que Malmsten avait obtenu en 1846 la formule de réflexion pour les constantes de Stieltjes  :

${\displaystyle \gamma _{1}\left({\frac {m}{n}}\right)-\gamma _{1}\left(1-{\frac {m}{n}}\right)=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \left({\frac {l}{n}}\right)-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}}$

(m et n entiers positifs avec m<n). Dans la littérature, cette identité est en général attribuée à Almkvist et Meurman, qui l'ont obtenue dans les années 1990^[10].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Carl Johan Malmsten » (voir la liste des auteurs).

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