Carré inscrit dans un triangle

Van Lamoen a remarqué, qu'il existe deux types de carrés inscrits dans un triangle : le type I a deux sommets consécutifs sur un même côté (étendu ou strict) et le type II a deux sommets opposés sur le même côté étendu^[1]. Les deux types de problème ont chacun trois solutions, que Van Lamoen a étudiées.

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  Carrés inscrits de type I
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  Carrés inscrits de type II

Construction du type I de van Lamoen

Un carré inscrit dans un triangle ABC peut se construire comme suit :

• construire un carré de côté un des côtés du triangle (ici, on prendra AB). Les deux autres sommets seront nommés M et N.
• les segments [CM] et [CN] intersectent A et B en P et Q
• PQ est un des côtés du carré inscrit dans le triangle ABC

Le carré inscrit est de type I si le carré ABMN est construit vers l'extérieur du triangle ABC, et de type II si ABMN est construit vers l'intérieur de ABC.

Construction du type I de Casey

Un carré inscrit dans un triangle ABC peut se construire comme suit^[2]:

• on note D, le pied de la hauteur issue de C et on construit E sur la droite (AB) tel que AD = BE à l'extérieur du triangle
• la bissectrice de l'angle BDC coupe [CE] en F
• la parallèle à (AB) passant par F coupe (AC) et (BC) en G et H
• GH est un des côtés du carré inscrit dans le triangle ABC

Le carré inscrit est de type I si le carré ABMN est construit vers l'extérieur du triangle ABC, et de type II si ABMN est construit vers l'intérieur de ABC.

Construction du type II

Pour les carrés strictement inscrits de type I, on note M_A, M_B, M_C, les centres des carrés dont un côté est inclus dans [BC], [CA], [AB] respectivement. L'intersection de (BC) et (M_BM_C) est notée P_A et on trace la perpendiculaire à (BC) passant par P_A. Les intersection de cette droite avec (AB) et (AC) sont deux sommets du carré inscrit de type II et P_A est son centre. Les deux autres carrés s'obtiennent pas permutation.