Catégorie opposée
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En théorie des catégories, une branche des mathématiques, la catégorie opposée ou catégorie duale d'une catégorie donnée est la catégorie formée en inversant les morphismes, c'est-à-dire en échangeant la source et le but de chaque morphisme de . En effectuant l’inversion deux fois, on obtient à nouveau la catégorie d’origine ; en symboles, .
- Si (X,≤) est un ensemble partiellement ordonné, on peut lui associer une catégorie C(X,≤) dont les objets sont les éléments de X, avec une flèche fx,y de x vers y si x≤y. Alors la catégorie opposée à C(X,≤) est la catégorie associé à l'ordre ≥, défini par
- x ≥ y si et seulement si y ≤ x.
- Étant donné un semi-groupe ( S, ·), on peut définir le semi-groupe opposé comme ( S, ·) op = ( S, *) où x * y ≔ y · x pour tout x, y dans S . Cette construction fonctionne également pour les groupes et pour les anneaux, appliquée au semi-groupe multiplicatif de l'anneau.
