Centre de masse (géométrie riemannienne)

Soit ${\displaystyle (M,g)}$ une variété riemannienne. Soit ${\displaystyle \mu }$ une mesure de probabilité borélienne sur ${\displaystyle M}$ (une "distribution de masse"). Afin que le centre de masse de ${\displaystyle \mu }$ soit bien défini, on suppose que ${\displaystyle \mu }$ est à support compact ${\displaystyle A}$ dans une boule (géodésiquement) convexe. On peut rappeler que quel que soit le point ${\displaystyle x\in M}$, la boule centrée en ${\displaystyle x}$ de rayon ${\displaystyle r>0}$ est convexe pourvu que ${\displaystyle r}$ soit suffisamment petit^[1].

Le centre de masse de ${\displaystyle \mu }$ est alors défini comme l'unique point ${\displaystyle x=x_{0}}$ où la fonction ${\displaystyle f:x\in M\mapsto {\frac {1}{2}}\int _{A}d(x,y)^{2}d\mu (y)}$ atteint son minimum. Il est caractérisé comme étant l'unique point où le gradient ${\displaystyle (\mathrm {grad} \,f)_{x}=\int _{A}\exp _{x}^{-1}(y)d\mu (y)}$ s'annule.