Centre de pression

Considérons l'exemple ci-contre où le pied du robot humanoïde est en contact avec une surface plane. La résultante ${\displaystyle F^{c}}$ des forces de contact exercées par l'environnement sur le robot à travers la surface peut se décomposer en deux termes :

• la résultante ${\displaystyle F^{p}=(F^{c}\cdot n)\,n}$ des forces de pression, ainsi que
• la résultante ${\displaystyle F^{f}=F^{c}-F^{p}}$ des forces de frottement entre les deux surfaces. Ces forces sont tangentes à la surface (${\displaystyle F^{f}\cdot n=0}$).

Ces résultantes sont la somme de forces infinitésimales exercées à chaque élément de surface ${\displaystyle {\rm {d}}{\cal {S}}}$ de la surface de contact ${\displaystyle {\cal {S}}}$. En notant ${\displaystyle p(P)}$ la pression en un point ${\displaystyle P\in {\cal {S}}}$ :

${\displaystyle F^{p}=\int _{P\in {\cal {S}}}p(P){\rm {d}}{\cal {S}}}$

Comme le pied du robot ne peut pas pénétrer à l'intérieur du sol, la pression est toujours une quantité positive (on parle d'« unilatéralité des contacts »). Il en résulte l'existence d'un centre de pression, c'est-à-dire un point où le moment des forces de pression s'annule complètement (de même qu'au point d'application d'une force celle-ci n'exerce aucun moment). Celui-ci est donné par :

${\displaystyle M_{C}^{p}\ =\ {\boldsymbol {0}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}\times (F^{p}\cdot n)n\ =\ -M_{O}^{p}}$

${\displaystyle (F^{p}\cdot n)\,n\times {\overrightarrow {OC}}\times n\ =\ -n\times M_{O}^{p}}$

Les points ${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle C}$ étant coplanaires, on obtient ainsi :

${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}={\frac {M_{O}^{p}\times n}{n\cdot F^{p}}}}$

Par ailleurs, les forces de frottement étant parallèles à la surface de contact par définition, leur moment est aligné avec ${\displaystyle n}$, de sorte que la relation ci-dessus s'écrit également

${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}={\frac {M_{O}^{c}\times n}{n\cdot F^{c}}}}$

On utilise cette formule en pratique pour mesurer le CdP à l'aide d'un capteur de force.