Cercle généralisé

Le plan euclidien étendu peut être identifié au plan complexe étendu, de sorte que les équations de nombres complexes peuvent être utilisées pour décrire des droites, des cercles et des inversions.

Un cercle ${\displaystyle \Gamma }$ est par définition l'ensemble des points ${\displaystyle z}$ dans un plan qui se trouve au rayon ${\displaystyle r}$ à partir d'un point central ${\displaystyle \gamma .}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{la distance entre }}z{\text{ et }}\gamma {\text{ vaut }}r\}}$

Dans le plan complexe, ${\displaystyle \gamma }$ est un nombre complexe et ${\displaystyle \Gamma }$ est un ensemble de nombres complexes. En utilisant la propriété selon laquelle un nombre complexe multiplié par son conjugué est le carré de son module (sa distance euclidienne à l'origine), une équation implicite pour ${\displaystyle \Gamma }$ devient :

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=\left|z-\gamma \right|^{2}=(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}\\[5mu]0&=z{\bar {z}}-{\bar {\gamma }}z-\gamma {\bar {z}}+\left(\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}\right).\end{aligned}}}$

Il s'agit d'une équation polynomiale linéaire bivariée homogène en termes de variable complexe ${\displaystyle z}$ et son conjugué ${\displaystyle {\bar {z}},}$ de la forme

${\displaystyle Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0,}$

où les coefficients ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle D}$ sont réels, et ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ sont des conjugués complexes.

En divisant par ${\displaystyle A}$ et puis en inversant les étapes ci-dessus, le rayon ${\displaystyle r}$ et le centre ${\displaystyle \gamma }$ peut être récupéré à partir de n'importe quelle équation de cette forme. L'équation représente un cercle généralisé dans le plan lorsque ${\displaystyle r}$ est réel, ce qui se produit lorsque ${\displaystyle AD<BC}$ de sorte que le rayon au carré ${\displaystyle r^{2}=(BC-AD)/A^{2}}$ est positif. Quand ${\displaystyle A}$ est nul, l'équation définit une ligne droite.

La propriété selon laquelle la transformation réciproque ${\displaystyle z\mapsto w=1/z}$ envoie les cercles généralisés sur des cercles généralisés se vérifie directement en remarquant que :

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D\\[5mu]&={\frac {A}{w{\bar {w}}}}+{\frac {B}{w}}+{\frac {C}{\bar {w}}}+D\\[5mu]&=A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}\\[5mu]&=D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A.\end{aligned}}}$

Les droites passant par l'origine ${\displaystyle (A=D=0)}$ sont transformées en droites passant par l'origine ; les droites ne passant pas par l'origine ${\displaystyle (A=0,D\neq 0)}$ sont envoyés sur des cercles passant par l'origine ; les cercles passant par l'origine ${\displaystyle (A\neq 0,D=0)}$ sont à l'inverse transformées en droites ne passant pas par l'origine ; et les cercles ne passant pas par l'origine ${\displaystyle (A\neq 0,D\neq 0)}$ sont envoyés sur des cercles ne passant pas par l'origine.

L'équation définissant un cercle généralisé

${\displaystyle 0=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D}$

peut être écrit comme une équation matricielle

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {z}}\\1\end{pmatrix}}.}$

Symboliquement,

${\displaystyle 0=\mathbf {z} ^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\bar {\mathbf {z} }},}$

avec une matrice hermitienne inversible ${\displaystyle {\mathfrak {C}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }}$ représentant le cercle, et ${\displaystyle \mathbf {z} ={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}^{\text{T}}}$ un vecteur représentant un nombre complexe étendu.

Deux de ces matrices désignent le même cercle généralisé si et seulement si l’une est un multiple scalaire de l’autre.

Pour transformer le cercle généralisé représenté par ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ par la transformation de Möbius ${\displaystyle {\mathfrak {H}},}$ on applique l'inverse de la transformation de Möbius ${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\mathfrak {H}}^{-1}}$ au vecteur ${\displaystyle \mathbf {z} }$ dans l'équation implicite,

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\mathfrak {G}}\mathbf {z} \right)^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\overline {({\mathfrak {G}}\mathbf {z} )}}\\[5mu]&=\mathbf {z} ^{\text{T}}\left({\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}\right){\bar {\mathbf {z} }},\end{aligned}}}$

donc le nouveau cercle peut être représenté par la matrice ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.}$

• (en) Hans Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Courier Dover Publications, 1979
• (en) Michael Henle, Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete, Prentice Hall, 2001
• (en) David W. Lyons, « Möbius Geometry », sur LibreTexts.org, 2021

• Portail de la géométrie