Cerf-volant droit

Puisqu'un cerf-volant droit peut être divisé en deux triangles rectangles, les formules métriques suivantes découlent facilement des propriétés bien connues des triangles rectangles. Dans un cerf-volant droit ABCD où les angles opposés ${\displaystyle {\widehat {B}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {D}}}$ sont droits, les deux autres angles sont donnés par

${\displaystyle \tan {\frac {\widehat {A}}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {\widehat {C}}{2}}={\frac {a}{b}}}$

où ${\displaystyle a=AB=AD}$ et ${\displaystyle b=BC=CD}$ . L'aire d'un cerf-volant droit est donnée par

${\displaystyle \displaystyle S=ab.}$

La diagonale [AC] qui est axe de symétrie a pour longueur

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

et, puisque les diagonales sont perpendiculaires un cerf-volant droit est un quadrilatère orthodiagonal d'aire ${\displaystyle S={\frac {cd}{2}}}$ ou d est la longueur de l'autre diagonale [BD]), ce qui donne

${\displaystyle d={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Le rayon du cercle circonscrit est (par le théorème de Pythagore)

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

et, puisque tous les cerfs-volants sont des quadrilatères circonscriptibles, le rayon du cercle inscrit est donné par

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\frac {ab}{a+b}}}$

où p est le demi-périmètre.

L'aire est donnée en fonction des rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit par

${\displaystyle S=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).}$

Si les segments joignant le point d'intersection des diagonales aux sommets pris dans le sens des aiguilles d'une montre sont de longueurs ${\displaystyle d_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}}$, ${\displaystyle d_{3}}$, et ${\displaystyle d_{4}}$, alors,

${\displaystyle d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4}}$.

Ceci provient directement du théorème de la moyenne géométrique.

Le polygone dual du cerf-volant droit est le trapèze circonscriptible isocèle^[1].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Right kite » (voir la liste des auteurs).

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