Chapeaux chinois

En mathématiques, les chapeaux chinois sont une dénomination regroupant les familles de fonctions continues, affines par morceaux, définies sur la demi-droite ${\displaystyle [0:+\infty [}$ permettant de donner des exemples de convergence simple non uniforme. Une famille de telles fonctions sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ est donnée par exemple par :

${\displaystyle f_{n}:x\mapsto {\frac {1}{n}}x\mathrm {X} _{[0;n]}+{\frac {1}{n}}(2n-x)\mathrm {X} _{]n;2n]}}$

Ces dernières forment également un contre-exemple classique au théorème de convergence dominée de Henri Lebesgue lorsqu'on oublie l'hypothèse de domination sur l'intervalle d'intégration, ici la demi-droite ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$^[1]. On trouve l'évocation de ces concepts chez Gustave Choquet^[2] mais également chez son élève, Jean-Louis Ovaert.