Claude Bouchery est le fils de Robert Bouchery, architecte et artiste peintre, et de Suzanne Chauffard.
Il suit à Paris les cours de l'EPJD (École Pour le Jeu Dramatique) dirigée par Jean-Marie Conti, où il a pour condisciple Philippe Noiret et Delphine Seyrig.
Comédien au cinéma et à la télévision, Claude Bouchery a travaillé essentiellement pour le théâtre dès la fin des années 1950.