Clôture normale (théorie des groupes)

Tout sous-groupe normal est égal à sa clôture normale.

La clôture normale de l'ensemble vide est le sous-groupe trivial^[2].

Il existe d'autres notations pour la clôture normale dans la littérature, comme ${\displaystyle \langle S^{G}\rangle ,}$${\displaystyle \langle S\rangle ^{G},}$${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle _{G}}$ ou ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.}$

Le dual du concept de clôture normale est celui d'intérieur normal ou cœur, défini comme le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes normaux de ${\displaystyle G}$ contenus dans ${\displaystyle S}$^[3].

Pour un groupe donné par une présentation ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$ avec des générateurs ${\displaystyle S}$ et des relations ${\displaystyle R,}$ il est équivalent de définir ${\displaystyle G}$ comme le groupe quotient ${\displaystyle G=F(S)/\mathrm {cln} _{F(S)}(R),}$ où ${\displaystyle F(S)}$ est un groupe libre sur ${\displaystyle S}$^[4].

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