Code de Kitaev

Pour le code de Kitaev, il existe 2 types de stabilisateurs, les stabilisateurs de plaquettes et de sites. On peut interpréter ce code comme étant un ensemble de spin-1/2 (qubits physiques) placés sur chaque arête d'un réseau carré 2D. Il est donc possible de définir les stabilisateurs et un hamiltonien pour ce système.

Il existe deux types de stabilisateurs pour ce code. Les stabilisateurs de sommets ${\displaystyle A_{s}}$ et les stabilisateurs de plaquettes ${\displaystyle B_{p}}$. En termes des opérateurs de Pauli, on exprime ces stabilisateurs comme:

${\displaystyle A_{s}=\prod _{i\in V(s)}\sigma _{i}^{x},\,\,B_{p}=\prod _{i\in V(p)}\sigma _{i}^{z}.}$

avec ${\displaystyle V(s)}$ correspondant à l'ensemble des arêtes sortant du sommet ${\displaystyle s}$ et ${\displaystyle V(p)}$ l'ensemble des arêtes autour des plaquettes ${\displaystyle p}$.

Connaissant le nombre de qubits physiques et de stabilisateurs indépendants (générateurs), on peut montrer que ce code permet d'encoder 2 qubits logiques.

L'Hamiltonien de ce système est donné par

${\displaystyle H=-\left(\sum _{s}A_{s}+\sum _{p}B_{p}\right)}$

De plus, on note les relations de commutations suivantes :

${\displaystyle [A_{s},A_{s}']=0}$ ; ${\displaystyle [B_{p},B_{p}']=0}$ ; ${\displaystyle [A_{s},B_{p}]=0}$

et l'état fondamental de l'Hamiltonien ${\displaystyle |\psi \rangle }$ correspond aussi à l'état code tel que

${\displaystyle A_{s}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall v,\,\,B_{p}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall p,}$

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