Commande H2

Si on considère la matrice de transfert ${\displaystyle \mathbf {T} (s)}$ d'un système dynamique linéaire stable, temps-continu, qui à une entrée ${\displaystyle w(s)}$ associe une sortie ${\displaystyle z(s)=\mathbf {T} (s)w(s)}$, la norme ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ "classique" du système dynamique est généralement définie par^[1],[2] :

${\displaystyle \lVert \mathbf {T} \rVert _{{\mathcal {H}}_{2}}\triangleq {\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\mbox{Tr}}\left(\mathbf {T} ^{*}(j\omega )\mathbf {T} (j\omega )\right)d\omega }}}$

où ${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}(j\omega )}$ est la transconjuguée de la matrice de transfert évaluée en ${\displaystyle j\omega }$, avec ${\displaystyle j}$ le nombre imaginaire pur, et ${\displaystyle {\mbox{Tr}}(\cdot {})}$ l'opérateur de trace pour les matrices.

Cette norme ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ "classique" est une norme pour l'espace des matrices ${\displaystyle n_{z}\times n_{w}}$ dont les coefficients appartiennent à l'espace de Hardy ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$. Il ne s'agit pas d'une norme subordonnée, car elle n'est généralement pas sous-multiplicative, ce qui la rend difficilement généralisable à des cadres non-linéaires^[2].

On utilise parfois la norme dite ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ "généralisée". Pour un système dynamique linéaire stable et temps-continu, cette norme est définie par^[2],[3],[4] :

${\displaystyle \lVert \mathbf {T} \rVert _{{\mathcal {H}}_{2,gen}}\triangleq {\sqrt {{\frac {1}{2\pi }}\lambda _{\max }\left(\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {T} ^{*}(j\omega )\mathbf {T} (j\omega )d\omega \right)}}}$

où ${\displaystyle \lambda _{\max }(\cdot {})}$ est l'opérateur qui à une matrice hermitienne associe sa valeur propre (nécessairement réelle) maximale.

Cette norme "généralisée" coïncide avec la norme "classique" dans le cas SISO. Cette fois ci, il s'agit bien d'une norme subordonnée. En effet, d'un point de vue temporel, si on considère un système linéaire stable ${\displaystyle \mathbf {T} }$ (de condition initiale ${\displaystyle x(0)=0}$) comme un opérateur entre des espaces fonctionnels de Lebesgue ${\displaystyle L^{2}}$ et ${\displaystyle L^{\infty }}$ , qui à une entrée ${\displaystyle w:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{n_{w}}}$ dans ${\displaystyle L^{2}}$ associe une sortie ${\displaystyle z=\mathbf {T} w:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{n_{z}}}$ dans ${\displaystyle L^{\infty }}$, alors la norme ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2,gen}}$ du système dynamique coïncide avec le suprémum du rapport entre la norme ${\displaystyle L^{\infty }}$ des signaux de sorties et la norme ${\displaystyle L^{2}}$ des signaux d'entrées^[2],[3],[4]. Formellement, il s'agit de la norme d'opérateur subordonnée aux normes ${\displaystyle L^{2}}$ et ${\displaystyle L^{\infty }}$ des signaux.

${\displaystyle \lVert \mathbf {T} \rVert _{{\mathcal {H}}_{2,gen}}\triangleq \sup _{w\in L^{2*}}{\frac {\lVert \mathbf {T} w\rVert _{L^{\infty }}}{\lVert w\rVert _{L^{2}}}}=\sup _{w\in L^{2*}}{\frac {\sup _{t\in [0,+\infty )}\lVert z(t)\rVert _{2}}{\sqrt {\int _{0}^{+\infty }w^{\top }(t)w(t)dt}}}}$

Minimiser cet indicateur revient à minimiser le rapport entre la norme instantanée maximale de la sortie sur la racine carrée de l'énergie de l'entrée. On parle d'energy-to-peak norm en anglais. Cette définition temporelle peut alors se généraliser à des cadres non-linéaires.

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