Comoment

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On appelle comoment le produit de deux torseurs. Cette opération est commutative.

Le comoment est un scalaire égal à la somme des produits scalaires de la résultante d'un torseur par le moment de l'autre. Pour pouvoir calculer le comoment de deux torseurs, ceux-ci doivent être exprimés au même point de réduction.

Notations

L'expression générale du comoment de deux torseurs M₁ et M₂ est :

${\vec {M}}_{1}\odot {\vec {M}}_{2}={\begin{Bmatrix}\ {\vec {R}}_{1}\\\ {\vec {M}}_{1}(A)\end{Bmatrix}}\odot {\begin{Bmatrix}\ {\vec {R}}_{2}\\\ {\vec {M}}_{2}(A)\end{Bmatrix}}={\vec {R}}_{1}\cdot {\vec {M}}_{2}(A)+{\vec {M}}_{1}(A)\cdot {\vec {R}}_{2}$

Il est fréquent de rencontrer la notation $\{T_{1}\}\otimes \{T_{2}\}$ pour le comoment de deux torseurs {T₁} et {T₂}. Cependant la notation avec un point cerclé ( $\odot$ ) est à préférer pour éviter toute confusion avec le produit tensoriel.

Propriétés

Lorsque le comoment de deux torseurs est nul, alors les deux torseurs sont orthogonaux.
Le comoment est invariant; un comoment de deux torseurs au point A sera le même que celui des deux mêmes torseurs à un autre point.

Exemples d'utilisation

Le comoment est notamment utilisé dans le calcul de^[1] :

l'énergie cinétique de solides indéformables. On fait la moitié du comoment du torseur cinétique et du torseur cinématique : $E_{c}={\frac {1}{2}}\,{\begin{Bmatrix}{\mathcal {C}}\end{Bmatrix}}\odot {\begin{Bmatrix}{\mathcal {V}}\end{Bmatrix}}={\frac {1}{2}}\,{\begin{Bmatrix}m\,{\vec {V}}\\{\vec {\sigma }}\end{Bmatrix}}_{A}\odot {\begin{Bmatrix}{\vec {\Omega }}\\{\vec {V}}\end{Bmatrix}}_{A}={\frac {1}{2}}\,m\,{\vec {V}}^{2}+{\frac {1}{2}}\,{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\Omega }}$ ;
la puissance instantanée. On fait le comoment du torseur d'effort et du torseur cinématique : ${\mathcal {P}}={\begin{Bmatrix}{\mathcal {F}}\end{Bmatrix}}\odot {\begin{Bmatrix}{\mathcal {V}}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\vec {R}}\\{\vec {M}}\end{Bmatrix}}_{A}\odot {\begin{Bmatrix}{\vec {\Omega }}\\{\vec {V}}\end{Bmatrix}}_{A}={\vec {R}}\cdot {\vec {V}}+{\vec {M}}\cdot {\vec {\Omega }}$ .

Lien avec l'automoment

L'automoment du torseur {T}, noté A_{T}, est la moitié du comoment de ce torseur par lui-même, soit :

$A_{\left\{T\right\}}={\frac {1}{2}}\,{\begin{Bmatrix}{\vec {R}}\\{\vec {M}}\end{Bmatrix}}_{A}\odot {\begin{Bmatrix}{\vec {R}}\\{\vec {M}}\end{Bmatrix}}_{A}={\vec {R}}\cdot {\vec {M}}$

Remarques :

l'automoment est nul si et seulement si le torseur est un torseur spécial : un glisseur, un torseur couple ou un torseur nul ;
l'automoment est invariant dans l'espace.

Notations

Propriétés

Exemples d'utilisation

Lien avec l'automoment

Références

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