Conjecture de Selberg sur la fonction zêta

En 1984, Anatolii Karatsuba a prouvé^[2],[3],[4] que pour un ${\displaystyle \varepsilon }$ fixé satisfaisant

${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001,}$

un T suffisamment grand et

${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon },}$ ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}},}$

l'intervalle en ordonnée t(T , T + H) contient au moins cH ln(T) zéros de la fonction zêta de Riemann

${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )};}$

et a ainsi confirmé la conjecture de Selberg.

En 1992, Karatsuba a prouvé^[5] qu'un analogue de la conjecture de Selberg est valable pour "presque tous" les intervalles ]T , T + H], H = T^ε où ε est un nombre positif fixe arbitrairement petit. La méthode de Karatsuba permet d'étudier les zéros de la fonction zêta de Riemann sur des intervalles "supercourts" de la droite critique, c'est-à-dire sur les intervalles ]T , T + H], dont la longueur H croît plus lentement que n'importe quel puissance de T.

En particulier, il a démontrer que pour tout nombre donné ε, ε₁ satisfaisant les conditions 0 < ε,ε₁ < 1 presque tous les intervalles ]T , T + H ] pour H ≥ exp[(ln T )^ε] contiennent au moins H (ln T )^1−ε₁ zéros de la fonction ζ(1/2 + it). Cette estimation est assez proche du résultat qui découle de l'hypothèse de Riemann.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Selberg's zeta function conjecture » (voir la liste des auteurs).

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