Conjecture de Szpiro
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En théorie des nombres, la conjecture de Szpiro met en relation le conducteur (en) et le discriminant d'une courbe elliptique. Sous une forme légèrement modifiée, elle est équivalente à la conjecture abc bien connue. Elle porte le nom de Lucien Szpiro qui l'a formulée dans les années 1980.
La conjecture stipule que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec un discriminant minimal Δ et un conducteur f, nous avons
Conjecture de Szpiro modifiée
La conjecture de Szpiro modifiée déclare que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec pour invariants c4, c6 et pour conducteur f (en utilisant la notation de l'algorithme de Tate (en)), nous avons
Preuves revendiquées
En , Shinichi Mochizuki revendique une preuve de la conjecture de Szpiro en développant une nouvelle théorie appelée théorie de Teichmüller inter-universelle (en) (IUTT)[1]. Cependant, les articles n'ont pas été acceptés par la communauté mathématique comme fournissant une preuve de la conjecture[2],[3],[4], avec Peter Scholze et Jakob Stix concluant en que l'écart était « si grave que ... de petites modifications ne sauvera pas la stratégie de preuve »[5],[6],[7].
