Conjugué isotomique
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En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?En géométrie, le conjugué isotomique d’un point P par rapport à un triangle ABC est un autre point défini par rapport à P et ABC.
On considère un triangle ABC et un point P qui n'appartient pas aux droites (AB), (AC) et (BC). Les droites (PA), (PB) et (PC) rencontrent les côtés BC, AC et AB respectivement aux points A', B' et C'. On construit les points A'', B'' et C'', symétriques respectifs de A' par rapport au milieu de BC, B' par rapport au milieu de AC, et C' par rapport au milieu de AB. Les droites (AA''), (BB'') et (CC'') sont concourantes (d'après par exemple le théorème de Ceva) en un point qui est le conjugué isotomique de P par rapport au triangle ABC.
Existence du conjugué isotomique
Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes. D'après le théorème de Ceva :
- .
Or, comme A'', B'' et C'' sont les symétriques de A', B' et C' par rapport aux milieux des côtés, on obtient :
En remplaçant les anciennes valeurs par les nouvelles dans la relation ci-dessus :
- .
D'après la réciproque du théorème de Ceva, (AA''), (BB'') et (CC'') sont bien concourantes.
