Médiane (géométrie)

Dans son sens le plus courant, une médiane désigne, dans un triangle, une droite joignant un des trois sommets du triangle au milieu du côté opposé.

Par extension, en géométrie plane, les médianes d'un quadrilatère sont les segments reliant les milieux de deux côtés opposés.

Enfin, en géométrie dans l'espace, les médianes d'un tétraèdre sont les droites passant par un sommet du tétraèdre et par l'isobarycentre des trois autres.

Théorème de la médiane

Médiane AI et hauteur AH d'un triangle ABC.

Dans un triangle ABC, la médiane issue du sommet A est la droite (AI) où I désigne le milieu du segment [BC]. Le terme médiane désigne parfois le segment [AI] plutôt que la droite (AI).

Chaque médiane sépare le triangle ABC en deux triangles d'aires égales : l'aire du triangle ABI est égale à l'aire du triangle ACI.

Démonstration

Considérons les deux triangles ABI et ACI.

On appelle H le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC).

Comme I est le milieu du segment [BC], on a BI = CI. Dans un triangle la médiane d'un côté est la droite qui passe par le milieu de ce côté et par le sommet de son angle.

L'aire du triangle ABI est égale à ${\frac {BI\times AH}{2}}$ . L'aire du triangle ACI est égale à ${\frac {CI\times AH}{2}}$ . Comme BI = CI, ces deux aires sont égales^{[D 1]}.

On démontre de la même manière que les médianes issues de B et de C vérifient cette propriété.

↑ Une autre façon élémentaire de le démontrer est de remarquer que ces deux triangles sont les moitiés de deux parallélogrammes de côté commun (AI) et translatés l'un de l'autre.

Dans le triangle ABC, si I est le milieu de [BC] alors ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}=2{\overrightarrow {AI}}.$ Cette égalité est une conséquence immédiate de la définition de I comme isobarycentre de B et C (voir le § « Réduction » de l'article sur le barycentre).

Le « premier théorème de la médiane » affirme que

AB^{2}+AC^{2}={1 \over 2}BC^{2}+2AI^{2}.

Il fut énoncé par Apollonius de Perga et par Thalès.

Isobarycentre

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est l'isobarycentre des trois sommets, souvent appelé « centre de gravité du triangle ». Il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant. Cet isobarycentre G vérifie la relation vectorielle :

${\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}={\overrightarrow {0}}.$

Démonstration

Le milieu I de [BC] est défini par l'équation vectorielle :

{\overrightarrow {BI}}+{\overrightarrow {CI}}={\overrightarrow {0}}.

L'isobarycentre G des trois points A, B et C est défini par l'équation vectorielle :

{\overrightarrow {GA}}+{\overrightarrow {GB}}+{\overrightarrow {GC}}={\overrightarrow {0}}.

De ces deux équations, on déduit :

{\overrightarrow {GA}}+2{\overrightarrow {GI}}={\overrightarrow {0}}.

Par conséquent G, A et I sont alignés, autrement dit G appartient à la médiane (AI). On démontre de même qu'il appartient aux deux autres médianes. Les trois médianes sont donc bien concourantes. (On peut voir aussi cette propriété comme un cas particulier du théorème de Ceva.)

Il existe une autre démonstration, n'utilisant aucune connaissance vectorielle.

Démonstration^[1]

Figure illustrant la démonstration : (CI) rencontre en G une autre médiane (deux choix possibles : (AK) ou (BJ)) et D est le symétrique de G par rapport à I. On montre que la position de G sur [CI] est aux deux tiers à partir de C donc est la même pour les deux choix.

On considère un triangle ABC quelconque et les points I, J et K, milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC], et G le point d'intersection des médianes (CI) et (AK) (on montre via un raisonnement par l'absurde que G est bien défini car les trois médianes se coupent deux à deux).

Soit D le symétrique de G par rapport à I. Alors AGBD est un parallélogramme donc (BD) est parallèle à (AG), c'est-à-dire à (KG). Autrement dit : G appartient à la parallèle à (BD) passant par le milieu de [BC]. Comme il appartient aussi à (CD), on en déduit, par le théorème de Thalès^{[N 1]}, que G est le milieu de [CD]. Par définition de D, le point G est donc situé, sur [CI], aux deux tiers à partir de C.

En résumé, le point d'intersection de (CI) et (AK) est, sur [CI], aux deux tiers à partir de C.

Par le même raisonnement, l'intersection de (CI) et (BJ) est en ce même point. Les trois médianes du triangle sont donc bien concourantes.

↑ On en peut incorporer ici une preuve du cas particulier qu'on utilise, c'est-à-dire de la réciproque du théorème des milieux, ce qui rétablit l'égalité des rôles entre les deux médianes considérées : soit E le symétrique de G par rapport à K. De même que (BD) est — on l'a vu — parallèle à (AG), la droite (BE) est parallèle à (CG), autrement dit : le quadrilatère BDGE a ses côtés opposés parallèles deux à deux. C'est donc un parallélogramme, si bien que DG = BE = GC.

Particularités

Chaque médiane d'un triangle, issue d'un sommet (A par exemple) forme avec les deux côtés adjacents du triangle et la parallèle passant par A au côté opposé un faisceau harmonique.

Les deux droites reliant un sommet au milieu de chaque médiane issue des deux autres sommets, coupent le côté opposé en trois parts égales.

La plus grande ellipse inscrite dans un triangle (ellipse de Steiner) est tangente aux côtés du triangle aux pieds des médianes.

Dans tout triangle, la somme des carrés des longueurs des trois médianes $m_{A}$ , $m_{B}$ et $m_{C}$ est égale aux trois quarts de la somme des carrés des côtés :

m_{A}^{2}+m_{B}^{2}+m_{C}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})

, avec a=BC, b=AC et c=AB.

Démonstration

En écrivant trois fois le théorème de la médiane pour la longueur de chaque médiane

2m_{A}^{2}=b^{2}+c^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}

,

2m_{B}^{2}=

…,

2m_{C}^{2}=

…,

la somme donne $2(m_{A}^{2}+m_{B}^{2}+m_{C}^{2})=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ .

En divisant par 2, on trouve la formule par simplification.

Médiane dans des triangles particuliers

Dans un triangle isocèle, la médiane relative à la base du triangle est un axe de symétrie du triangle. Considérées comme des segments, les deux autres médianes sont de longueur égale. Réciproquement si dans un triangle deux médianes sont de même longueur, le triangle est isocèle.

Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse. Réciproquement si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle.

Dans un triangle, les médianes issues de B et C sont orthogonales si et seulement si on a la relation suivante entre les côtés du triangle^[2] : $b 2 + c 2 = 5 a 2$ .

Si la médiane AM = ${\frac {3}{2}}a$ , alors les deux autres médianes sont orthogonales.

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron

Médiane (géométrie)

Théorème de la médiane

Isobarycentre

Particularités

Médiane dans des triangles particuliers

Médianes dans un quadrilatère

Géométrie dans l'espace

Références

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