Connexion de Gauss-Manin

Soit un morphisme lisse de schémas ${\displaystyle X\to B}$ de caractéristique 0. En tant que qu'espaces complexes analytiques, le théorème d'Ehresmann implique que les fibres ${\displaystyle X_{b}=f^{-1}(b)}$ sont des variétés lisses et sont toutes difféomorphes. Les groupes de cohomologie de de Rham ${\displaystyle H^{k}(X_{b})}$ sont donc tous isomorphes. Nous pouvons utiliser cette observation pour nous demander ce qui se passe lorsque nous essayons de différencier les classes de cohomologie sont des champs de vecteurs de l'espace de base ${\displaystyle B}$.

Soit une classe de cohomologie ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(X)}$ tel que ${\displaystyle i_{b}^{*}(\alpha )\in H^{k}(X_{b})}$ où ${\displaystyle i_{b}\colon X_{b}\to X}$ est l’inclusion. Si l'on considère les classes

${\displaystyle \left[i_{b}^{\ast }\left({\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}\alpha }{\partial b_{1}^{i_{1}}\cdots \partial b_{n}^{i_{n}}}}\right)\right]\in H^{k}(X_{b})}$

il y aura une relation entre eux, appelée équation de Picard-Fuchs. La connexion de Gauss-Manin est un outil qui code ces informations dans une connexion sur le fibré vectoriel plat sur ${\displaystyle B}$ construit à partir du ${\displaystyle H^{k}(X_{b})}$^[1].

Un exemple classique est la construction de Dwork de l'équation de Picard-Fuchs. Soit

${\displaystyle V_{\lambda }(x,y,z)}$ la courbe elliptique ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-\lambda xyz=0\;}$.

Ici, ${\displaystyle \lambda }$ est un paramètre décrivant la courbe ; c'est un élément de la droite projective complexe (la famille des hypersurfaces en ${\displaystyle n-1}$ en dimension n, définies de manière analogue, a été intensivement étudiée ces dernières années, en lien avec le théorème de modularité et ses extensions)^[2]. Ainsi, l’espace de base du fibré est la droite projective. Pour un fixe ${\displaystyle \lambda }$ dans l'espace de base, considérons un élément ${\displaystyle \omega _{\lambda }}$ du groupe de cohomologie de de Rham associé

${\displaystyle \omega _{\lambda }\in H_{dR}^{1}(V_{\lambda }).}$

Chacun de ces éléments correspond à une période de la courbe elliptique. La cohomologie est concentrée en degré inférieur à 2. La connexion de Gauss – Manin correspond à l'équation différentielle du second ordre

${\displaystyle (\lambda ^{3}-27){\frac {\partial ^{2}\omega _{\lambda }}{\partial \lambda ^{2}}}+3\lambda ^{2}{\frac {\partial \omega _{\lambda }}{\partial \lambda }}+\lambda \omega _{\lambda }=0.}$

Dans le cadre plus abstrait de la théorie des D-modules, l'existence de telles équations est contenue dans une discussion générale de l'image directe.