Constante de Gompertz

Le plus souvent, la constante ${\displaystyle \delta }$ apparaît à travers l'une des intégrales suivantes :

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{\infty }\ln(1+x)e^{-x}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-\ln(x)}}\mathrm {d} x.}$

La première intégrale définit ${\displaystyle \delta }$, et les deuxième et troisième découlent respectivement d'une intégration par parties et d'un changement de variable.

La constante de Gompertz se trouve également être la valeur obtenue par sommation de Borel de la série divergente, somme alternée des factorielles, résultat déjà obtenu par Euler en 1760 dans son article intitulé « De seriebus divergentibus »^[2] :

${\displaystyle \delta =\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=1-1+2-6+24-120+\cdots }$.

La constante de Gompertz est donnée par la fraction continue généralisée

${\displaystyle \delta ={\frac {1}{2-{\frac {1}{4-{\frac {4}{6-{\frac {9}{{8-\qquad \qquad } \atop {\qquad }{}^{\ddots }{-{\frac {n^{2}}{2n+2-\cdots }}}}}}}}}}},}$

par

${\displaystyle \delta =1-{\frac {1}{3-{\frac {2}{5-{\frac {6}{7-{\frac {12}{{9-\qquad \qquad } \atop {\qquad }{}^{\ddots }{-{\frac {n(n+1)}{2n+3-\cdots }}}}}}}}}}}}$

ou encore par

${\displaystyle \delta ={\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {2}{1+{\frac {2}{1+{\frac {3}{1+{\frac {3}{1+{\frac {4}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

La constante ${\displaystyle \delta }$ peut être calculée en fonction de l'exponentielle intégrale ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ :

${\displaystyle \delta =-e\operatorname {Ei} (-1).}$

En appliquant le développement de Taylor de l'exponentielle intégrale, on obtient le développement en série

${\displaystyle \delta =-e\left(\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\cdot n!}}\right).}$

La constante de Gompertz est reliée aux coefficients de Gregory via une formule d'István Mező obtenue en 2013^[3] :

${\displaystyle \delta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }G_{n+1}\{e\cdot n!\}-{\frac {1}{2}}}$, où ${\displaystyle \{\cdot \}}$ désigne la partie fractionnaire.