Constante de Kemeny

La définition suivante est conforme à la formulation originelle, mais comme détaillé plus bas il est possible d'adopter une autre convention. Soit ${\displaystyle \textstyle T_{j}^{+}}$ le temps d'atteinte de l'état j, défini ici par ${\displaystyle \textstyle T_{j}^{+}=\min\{t\geq 1\mid X_{t}=j\}}$, où ${\displaystyle \textstyle X_{t}}$ est l'état de la chaîne au temps t. On note ${\displaystyle \textstyle \mathbb {E} _{i}[T_{j}^{+}]}$ l'espérance de cette variable aléatoire sachant que ${\displaystyle \textstyle X_{0}=i}$, i.e. le temps moyen qu'il faut pour atteindre l'état j en partant de l'état i (qu'on prend égal au temps de retour en i lorsque i = j. La constante de Kemeny est donnée par

${\displaystyle K=\sum _{j}\mathbb {E} _{i}\left[T_{j}^{+}\right]\pi _{j}}$,

où ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$ est la probabilité stationnaire de la chaîne. Comme expliqué plus haut, cette quantité ne dépend pas de i.

Remarque : Il aurait également été possible d'adopter la définition suivante :

${\displaystyle K'=\sum _{j}\mathbb {E} _{i}\left[T_{j}\right]\pi _{j}}$,

où ${\displaystyle T_{j}=\min \left\{t\geq 0\mid X_{t}=j\right\}}$. On a alors ${\displaystyle K=K'+1}$. En effet, le seul terme différant dans les deux sommes précédentes est le terme pour j = i. Dans avec la première définition, ce terme est égal au produit du temps de retour à l'état i (${\displaystyle 1/\pi _{i}}$) par la probabilité stationnaire de se trouver dans cet état (${\displaystyle \pi _{i}}$), soit 1; tandis qu'avec la deuxième il est égal à 0. La deuxième définition présente l'avantage de permettre d'exprimer la constante comme ${\displaystyle K'=\mathrm {Tr} (\mathbf {Z} )}$, où ${\displaystyle \mathbf {Z} =(I-P+\Pi )^{-1}-\Pi }$, où ${\displaystyle P}$ est la matrice de transition et ${\displaystyle \Pi }$ la matrice dont les lignes sont ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$.^{[réf. nécessaire]}

Ce résultat est contre intuitif, si bien que lorsqu'il a été énoncé par John Kemeny en 1960, un prix a été promis à quiconque pourrait en donner une explication intuitive^[1].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kemeny's constant » (voir la liste des auteurs).

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