Constante parabolique universelle

Soit ${\textstyle y={\frac {x^{2}}{2p}}}$ l'équation de la parabole ; alors $${\displaystyle {\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-p}^{p}{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{p}}\int _{-p}^{p}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{p^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=pt)\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle P}$ est un nombre transcendant.

Preuve. Supposons que ${\displaystyle P}$ soit algébrique. Alors ${\displaystyle \!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})}$ serait algébrique. Cependant, par le théorème d'hermite-Lindemann, ${\displaystyle \!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}}$ serait transcendant, ce qui est faux. Donc ${\displaystyle P}$ est transcendant.

On en déduit que ${\displaystyle P}$ est irrationnel.

Pour un cercle, le rapport analogue est égal à sa demi-longueur divisée par son rayon, soit le nombre ${\displaystyle \pi }$.

Pour une conique d'excentricité e, le rapport analogue est égal à ${\displaystyle C(e)=2\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\rho ^{2}+\rho '^{2}}}d\theta }$ où ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{1+e\cos \theta }}}$, conduisant à une intégrale elliptique. On vérifie que ${\displaystyle C(1)=P}$ et ${\displaystyle C(0)=\pi }$.

La distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un carré de côté 2a à son centre est

${\displaystyle d_{\text{m}}={P \over 3}a\approx 0,77a.}$

Preuve.

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{\text{m}}&:={\frac {2}{a^{2}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&={\frac {2}{a^{2}}}\int _{0}^{a}x^{2}\int _{0}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt\,dx\\&={\frac {P}{a^{2}}}\int _{0}^{a}x^{2}\,dx\\&={P \over 3}a.\end{aligned}}}$

Remarque :

• la distance moyenne d'un point choisi au hasard dans un disque de rayon a à son centre est égale à ${\displaystyle {\frac {2}{3}}a}$.
• la distance moyenne entre deux points du carré unité vaut ${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln({\sqrt {2}}+1)}{15}}\approx 0,5214}$, voir la suite A091505 de l'OEIS.