Coordonnées tripolaires

Voici les coordonnées tripolaires de quelques points remarquables du triangle :

• ${\displaystyle A(0,c,b)}$
• ${\displaystyle B(c,0,a)}$
• ${\displaystyle C(b,a,0)}$
• milieu de ${\displaystyle [BC]\,\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}},{\frac {c}{2}},{\frac {b}{2}}\right)}$
• milieu de ${\displaystyle [CA]\,\left({\frac {c}{2}},{\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}},{\frac {a}{2}}\right)}$
• milieu de ${\displaystyle [AB]\,\left({\frac {b}{2}},{\frac {a}{2}},{\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}\right)}$
• centre de gravité ${\displaystyle G\left({\frac {1}{3}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}},{\frac {1}{3}}{\sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}},{\frac {1}{3}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}\right)}$
• centre du cercle inscrit ${\displaystyle I\left({\sqrt {\frac {bc(-a+b+c)}{a+b+c}}},{\sqrt {\frac {ac(-b+c+a)}{a+b+c}}},{\sqrt {\frac {ab(-c+a+b)}{a+b+c}}}\right).}$
• centre du cercle circonscrit ${\displaystyle O(R,R,R)}$, avec ${\displaystyle R={abc \over {4{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}}$ le rayon du cercle circonscrit.
• orthocentre ${\displaystyle H(2R|\cos {\widehat {A}}|,2R|\cos {\widehat {B}}|,2R|\cos {\widehat {C}}|)}$

Leonhard Euler a montré la relation suivante entre les coordonnées tripolaires ${\displaystyle (f,g,h)}$ d'un point et les longueurs des côtés ${\displaystyle a,b}$ et ${\displaystyle c}$ :

${\displaystyle (-a^{2}+g^{2}+h^{2})^{2}f^{2}+(f^{2}-b^{2}+h^{2})^{2}g^{2}+(f^{2}+g^{2}+c^{2})^{2}h^{2}-(-a^{2}+g^{2}+h^{2})(f^{2}-b^{2}+h^{2})(f^{2}+g^{2}+c^{2})-4f^{2}g^{2}h^{2}=0}$

La courbe d'équation ${\displaystyle lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0}$ est une droite si est seulement si ${\displaystyle l+m+n=0}$, et sinon un cercle.

• Si l'équation est un cercle, alors le centre du cercle a pour coordonnées barycentriques ${\displaystyle (l:m:n)}$.
• Si l'équation est une droite, alors cette droite est perpendiculaire à la droite ${\displaystyle [\ l:m:n\ ]}$ en coordonnées barycentriques.

Le nombre de points qui ont des coordonnées tripolaires ${\displaystyle (f,g,h)}$, qui pour un point donné vérifient ${\displaystyle f:g:h=x:y:z}$, dépend des valeurs ${\displaystyle ax,by}$ et ${\displaystyle cz}$^[2] :

• si les valeurs forment un triangle, alors il y a deux de ces points ;
• si les valeurs forment un triangle dégénéré, alors il existe un tel point ;
• si elles ne forment pas les côtés d’un triangle, alors aucun point ne remplit la condition.