Corps de Levi-Civita

• 7ε est un infinitésimal qui est supérieur à ε, mais inférieur à tout nombre réel positif.
• ε² est inférieur à ε, et est également inférieur à kε pour tout réel positif k.
• 1+ε est un nombre infiniment proche de 1.
• ε^1/2 est supérieur à ε et même plus grand que kε pour tout réel k positif, mais est toujours inférieur à tout nombre réel positif.
• 1/ε est supérieur à n’importe quel nombre réel.
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\varepsilon ^{n}+\cdots }$ s'interprète comme e^ε, qui est infiniment proche de 1.
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +2\varepsilon ^{2}+\cdots +n!\varepsilon ^{n}+\cdots }$ est élément du corps, car la série doit être interprétée formellement, sans considérer sa convergence.

Soient ${\displaystyle a=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q}}$ et ${\displaystyle b=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }b_{q}\varepsilon ^{q}}$ deux séries de Levi-Civita, alors on définit comme suit

• la somme a + b de deux séries s'obtient en ajoutant les termes membre à membre : ${\displaystyle a+b:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }(a_{q}+b_{q})\varepsilon ^{q}}$.
• leur produit ${\displaystyle ab}$ est le produit de Cauchy ${\displaystyle ab:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }\left(\sum \limits _{r+s=q}a_{r}b_{s}\right)\varepsilon ^{q}}$.

On peut vérifier cela pour chaque ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ l'ensemble ${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q}$ :\ r+s=q,\ a_{r}\neq 0,\ b_{s}\neq 0\}} est fini, de sorte que tous les produits sont bien définis et que la série résultante définit une série de Levi-Civita valide.

• un élément a est strictement positif s'il est non nul (c'est-à-dire au moins un coefficient de a est non nul) et le plus petit coefficient non nul de a (sa valuation) est strictement positif.

Muni de ces opérations et de cette relation d'ordre, le corps de Levi-Civita donc bien un corps ordonné. C'est une extension du corps ordonné des réels, auquel on aurait ajouté un infinitésimal positif ε.

Le corps de Levi-Civita est un corps réel clos, ce qui signifie qu'il peut être algébriquement clos en y ajoutant une unité imaginaire i, ou en autorisant les coefficients complexes.

On peut y définir la plupart des concepts nécessaires pour l'analyse, mais ses éléments peuvent être représentés exactement dans la mémoire d'un ordinateur sous une forme analogue au nombres à virgule flottante.

Le corps de Levi-Civita sert de fondement théorique à la différenciation automatique, une technique d'évaluation des dérivées d'une fonction de manière automatique par un programme informatique^[2].

Le corps de Levi-Civita est également complet, ce qui signifie que toute suite de Cauchy y est convergente. C'est même le plus petit sur-corps de R qui soit non archimédien, réel clos et complet.

Il existe une valuation naturelle sur ce corps : la valuation d'une série est l'exposant rationnel correspondant à son premier coefficient non nul. L'anneau de valuation est l'ensemble des séries bornées par un nombre réel; le corps résiduel est R, et le groupe de valuation est (Q, +) .

En tant que corps valué, le corps de Levi-Civita est henselien (étant un corps réel clos dont l'anneau de valuation est convexe) mais il n'est pas complet sphérique. En revanche, le corps des séries de Hahn à coefficients réels et à valuation dans (Q, +), qui est une extension du corps de Levi-Civita, est complet sphérique. Ce corps contient des séries telles que 1 + ε^1/2 + ε^2/3 + ε^3/4 + ... qui ne sont pas dans le corps de Levi-Civita.