Corrélation d'Eucken

Dans un gaz monoatomique la méthode de Chapman-Enskog permet de relier conductivité et viscosité par la relation :

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {5}{2}}C_{V}}$

où ${\displaystyle \textstyle C_{V}}$ est la capacité thermique massique à volume constant.

Le calcul analytique étant difficile pour un gaz polyatomique possédant des degrés de liberté internes, Eucken a proposé d'écrire la loi sous une forme linéaire faisant intervenir de manière découplée la translation (indice tr) et les degrés de liberté internes (indice int) :

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\mu }}=f_{tr}C_{V_{tr}}+f_{int}C_{V_{int}}\,,\quad C_{V_{int}}={\frac {3{\mathcal {R}}}{2{\mathcal {M}}}}}$

où ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$ est la constante universelle des gaz parfaits et ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {M}}}$ la masse molaire. La compatibilité avec le cas monoatomique donne ${\displaystyle \textstyle f_{tr}={\frac {5}{2}}}$.

Eucken a proposé ${\displaystyle \textstyle f_{int}=1}$, valeur obtenue lorsque les degrés de liberté internes ont un temps de relaxation nul (découplage de la translation)^[2]. On obtient alors l'expression :

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\mu }}=C_{V}+{\frac {9{\mathcal {R}}}{4{\mathcal {M}}}}}$

Cette expression donne des valeurs trop faibles et il a été proposé de la modifier en prenant pour ${\displaystyle \textstyle f_{int}}$ l'inverse du nombre de Schmidt ${\displaystyle \textstyle Sc}$, conduisant ainsi à la corrélation d'Eucken modifiée^[3],[4]. Celle-ci donne plutôt des valeurs par excès^[5].

Plus tard des calculs d'échanges au cours des collisions moléculaires (Mason et Monchik, Wang-Chang et Uhlenbeck)^[4] ont permis de valider l'expression utilisée par Eucken et de donner des valeurs plus réalistes pour les facteurs f :

${\displaystyle f_{tr}={\frac {5}{2}}\left[1-{\frac {5}{6Z}}\left(1-{\frac {2}{5Sc}}\right){\frac {{\mathcal {M}}C_{V_{int}}}{\mathcal {R}}}\right]}$

${\displaystyle f_{int}={\frac {1}{Sc}}\left[1+{\frac {5}{4Z}}\left(1-{\frac {2}{5Sc}}\right)\right]}$

où ${\displaystyle \textstyle Z}$ est le paramètre de relaxation vibrationnelle (sans dimension) lié au temps caractéristique ${\displaystyle \textstyle \tau ={\frac {\mu }{pZ}}}$. On remarque qu'en faisant tendre Z vers l'infini on retrouve la corrélation d'Eucken modifiée. Ce coefficient est calculable à partir des intégrales de collision et vaut environ 1,35 pour les gaz diatomiques à température normale^[2].

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