Courbure sectionnelle

Si ${\displaystyle M}$ est une variété riemannienne de tenseur métrique ${\displaystyle \langle \,,\,\rangle }$ et de tenseur de courbure ${\displaystyle R}$ et si on considère deux vecteurs ${\displaystyle X,Y}$ tangents au même point ${\displaystyle m}$ à la variété ${\displaystyle M}$, et linéairement indépendants, la courbure sectionnelle est donnée par^{[Jost 1]}

${\displaystyle K_{m}(X,Y)=K(X,Y)={\frac {\langle R(X,Y)Y,X\rangle }{\langle X,X\rangle \langle Y,Y\rangle -\langle X,Y\rangle ^{2}}}}$

Ce réel ne dépend que du 2-plan P engendré par X et Y. Notamment, dans le cas où (X, Y) forme une famille orthonormale l'expression se simplifie en ${\displaystyle K(X,Y)=\langle R(X,Y)Y,X\rangle .}$

Pour les surfaces, un seul choix de 2-plan est possible et la courbure sectionnelle n'est autre que la courbure de Gauss^{[Pano 1]}. Le tenseur de courbure peut être retrouvé à partir des courbures sectionnelles, par un calcul qui fait intervenir les identités de Bianchi^{[GHL 1]} :

${\displaystyle \langle R(U,\;V)W,\;Z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(U+sZ,\;V+tW)-K(U+sW,\;V+tZ)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}.}$

En cas de renormalisation de la métrique par un facteur fixe ${\displaystyle t>0}$, la courbure sectionnelle est multipliée par le facteur inverse ${\displaystyle 1/t}$^{[GHL 2]}.