Critère d'irréductibilité de Cohn

En arithmétique des polynômes, le critère d'irréductibilité de Cohn est une condition suffisante pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible.

Si un nombre premier $p$ s'écrit en base dix sous la forme
$p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\dots +a_{1}10+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq 9$
alors le polynôme
$a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}$
est irréductible dans $\mathbb {Z} [X]$ .

Ce théorème se généralise à d'autres bases : Pour tout entier $b$ ≥ 2, un polynôme de la forme $P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq b-1$ est irréductible dans $\mathbb {Z} [X]$ dès que $P (b)$ est premier.

Notes historiques

La version en base 10 est attribuée à Arthur Cohn^[1] – un étudiant d'Issai Schur^[2] – par Pólya et Szegő^[3] et sa généralisation à une base quelconque $b$ ≥ 2 est due à Brillhart, Filaseta et Odlyzko^[4].

En 2002, M. Ram Murty a donné une preuve simplifiée ainsi que des détails historiques sur ce théorème^[5], démontrant également la variante suivante : Soit $P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {Z} _{m}[X]$ et $H=\max _{0\leq i<m}|a_{i}/a_{m}|$ . S'il existe un entier $b \geq H + 2$ tel que $P (b)$ est premier, alors $P$ est irréductible sur ℤ.

Démonstration

Raisonnons par contraposition, en supposant $P$ réductible et en montrant qu'alors, pour tout entier $b \geq H + 2$ , $P (b)$ est composé.

Soient donc $Q,R\in \mathbb {Z} [X]\setminus \{-1,0,1\}$ tels que $P = QR$ .

Si $Q$ n'est pas constant alors $Q=c\prod _{i}(X-\alpha _{i})$ avec, puisque chaque $\alpha _{i}$ est une racine de $P$ , $|\alpha _{i}|<H+1$ (cf. Racine d'un polynôme réel ou complexe#Une première estimation) donc $|Q(b)|\geq \prod _{i}(b-|\alpha _{i}|)>\prod _{i}(H+2-H-1)=1$ .
Si $Q$ est constant alors $Q\in \mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}$ et l'on a évidemment encore $| Q (b)| > 1$ .

Même raisonnement pour $R$ , donc $P (b) = Q (b) R (b)$ avec $| Q (b)|, | R (b)| > 1$ .

Critère d'irréductibilité de Cohn

Notes historiques

Notes et références

Articles connexes

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