Conjecture de Bouniakovski

La conjecture de Bouniakovsky (ou de Bunyakovsky ou Bouniakowsky), formulée en 1854 par le mathématicien russe Viktor Bouniakovski^[1], n'est toujours pas démontrée ou infirmée. Elle prévoit que si P(x) est un polynôme irréductible à coefficients entiers non constant et si d est son « diviseur invariable », c'est-à-dire le PGCD des P(n) quand n parcourt les entiers, alors il existe une infinité d'entiers naturels n pour lesquels l'entier |P(n)|/d est premier^[2].

Par exemple, « comme la fonction x⁹ – x³ + 2 520 est irréductible, et qu'elle a pour diviseur invariable le nombre 504, le trinôme (x⁹ – x³ + 2 520)/504 […] représentera, comme il est impossible d'en douter, une infinité de nombres premiers, en attribuant successivement à x toutes les valeurs entières possibles^[1]. »

Cette conjecture « est l'extension du fameux théorème connu sur les progressions arithmétiques^[1] », qui correspond au cas où le polynôme est de degré 1.

Pour le polynôme x² + 1 (cf. « Problèmes de Landau »), on pourrait répondre par l'affirmative si l'on savait démontrer une conjecture de Hardy et Littlewood^[3] sur la densité des valeurs premières d'un polynôme de degré 2.

On ne sait même pas si tout polynôme irréductible non constant dont le « diviseur invariable » vaut 1 prend ne serait-ce qu'une valeur première.