Critère de Bohm

Le modèle proposé initialement par Bohm considère le plasma comme un mélange d'ions et d'électrons^[4],[5]. Les sous-ensembles de particules formés par ces espèces constituent deux fluides, interagissant entre eux par l'intermédiaire de forces électrostatiques.

Comme les électrons du plasma sont très légers, ils sont supposés en équilibre thermodynamique avec le potentiel électrostatique ${\displaystyle \phi (x)}$ créé par les particules chargées. Leur densité volumique ${\displaystyle n_{e}}$ peut donc être exprimée selon la loi de Boltzmann :

${\displaystyle n_{e}(x)=n_{s}\exp \left({\frac {e\phi (x)}{kT_{e}}}\right)}$

où ${\displaystyle k}$ est la constante de Boltzmann, ${\displaystyle e}$ la charge élémentaire, ${\displaystyle T_{e}}$ la température électronique et ${\displaystyle n_{s}}$ la densité des électrons en entrée de gaine, c'est-à-dire loin de la surface (${\displaystyle x\rightarrow \infty }$), cette dernière étant placée en ${\displaystyle x=0}$. On notera que la référence du potentiel (${\displaystyle \phi =0}$) est prise en ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$. À cet endroit, le plasma est quasi-neutre donc la densité ${\displaystyle n_{s}}$ est aussi celle des ions. Autrement dit, ${\displaystyle n_{i}(\infty )=n_{e}(\infty )=n_{s}}$.

Les ions, de masse ${\displaystyle m_{i}}$, sont décrits dans le cadre d'un modèle fluide. On leur attribue donc une densité volumique ${\displaystyle n_{i}}$ et une vitesse fluide ${\displaystyle v_{i}}$ obéissant à des équations similaires aux équations d'Euler de la mécanique des fluides "usuelle". En supposant un régime stationnaire d'écoulement, ces équations s'écrivent en une dimension :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(n_{i}v_{i})=0}$, et :

${\displaystyle m_{i}n_{i}v_{i}{\frac {dv_{i}}{dx}}=-{\frac {d}{dx}}(n_{i}kT_{i})-en_{i}{\frac {d\phi }{dx}}}$

La première équation traduit la conservation du flux des ions. On peut aussi la voir comme une équation de conservation de la charge qu'ils transportent. La seconde traduit la conservation de la quantité de mouvement des ions : on peut la voir comme une application de la deuxième loi de Newton au fluide ionique. Pour la pression des ions ${\displaystyle p_{i}}$, on a utilisé la loi des gaz parfaits ${\displaystyle p_{i}=n_{i}kT_{i}}$. Dans le modèle de Bohm, on fait l'approximation des ions froids consistant à poser ${\displaystyle T_{i}=0}$. Autrement dit, le terme de pression est négligé. Ceci permet de récrire l'équation de la quantité de mouvement sous la forme suivante, traduisant la conservation de l'énergie mécanique des ions :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}(x)+e\phi (x)=cte}$

En notant ${\displaystyle v_{s}}$ la vitesse des ions en entrée de gaine, loin de la surface et en prenant la référence ${\displaystyle \phi =0}$ en entrée de gaine, on peut écrire plus précisément :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}(x)+e\phi (x)={\frac {1}{2}}m_{i}v_{s}^{2}}$.

d'où l'on peut exprimer la vitesse des ions en fonction du potentiel. En combinant ce résultat avec l'équation de conservation du flux des ions, on obtient l'expression suivante pour la densité d'ions :

${\displaystyle n_{i}(x)=n_{s}\left(1-{\frac {2e\phi (x)}{m_{i}{v_{s}}^{2}}}\right)^{-{1/2}}}$

Les densités d'ions et d'électrons forment alors une densité volumique de charges, qui crée un potentiel électrostatique d'après l'équation de Poisson :

${\displaystyle \epsilon _{0}{\frac {d^{2}\phi }{dx^{2}}}=e(n_{e}(x)-n_{i}(x))}$

Après calculs, et en supposant que le champ électrique décroit (tend vers 0) lorsque l'on s'éloigne de la surface, cette équation peut, après intégration, se mettre sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left({\frac {d\phi }{dx}}\right)^{2}=n_{s}m_{i}v_{s}^{2}\left[\left(1-{\frac {2e\phi }{m_{i}v_{s}^{2}}}\right)^{1/2}-1\right]+n_{s}kT_{e}\left[\exp \left({\frac {e\phi }{kT_{e}}}\right)-1\right]}$

Le membre de gauche de cette équation étant positif, celui de droite doit l'être aussi. Ceci doit en particulier être vrai en entrée de gaine, là où ${\displaystyle \phi \simeq 0}$. En effectuant alors un développement de Taylor au deuxième ordre des fonctions intervenant, on obtient alors l'inégalité :

${\displaystyle v_{s}\geq u_{B}={\sqrt {\frac {kT_{e}}{m_{i}}}}}$

Cette inégalité est le critère de Bohm, et la vitesse ${\displaystyle u_{B}}$ est appelée vitesse de Bohm.

• David Bohm

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