Critère de Kelly

Soit une loterie ${\displaystyle L}$, c'est-à-dire un pari, qui consiste en une distribution aléatoire ${\displaystyle f_{G}(g)}$ sur les résultats possibles g, exprimés comme une proportion du capital de départ (g>0). On suppose que le pari est profitable, c.à.d. E(G)>1.

Ces résultats dépendent d'une variable de décision x (usuellement, la "mise"), elle aussi exprimée en proportion du capital investissable.

Supposons un parieur appliquant la stratégie x répétitivement sur un nombre N de loteries L_k successives, statistiquement indépendantes (i.i.d.).

Son capital final (toujours exprimé en proportion de son capital de départ) vaudra

${\displaystyle C_{N}=g_{1}(x)g_{2}(x)\dots g_{N}(x)=\prod _{k=1}^{N}g_{k}(x)=(1+t)}$

t est le taux de croissance global. Le taux de croissance moyen (par pari) r est tel que

${\displaystyle C_{N}=(1+r)^{N}}$

ce qui conduit à définir

${\displaystyle r=(C_{N})^{1/N}-1={\Big (}\prod _{k=1}^{N}g_{k}(x)^{1/N}{\Big )}-1}$

John L. Kelly, Jr ^[1] imagina en 1956 un parieur qui veut maximiser l'espérance du taux de croissance moyen de son capital en jouant répétitivement la stratégie x un nombre infini de fois. (D'autres interprétations sont possibles.)

${\displaystyle \max _{x}\mathbb {E} [r]\propto \max _{x}\mathbb {E} {\Big [}\prod _{k=1}^{N}G_{k}(x)^{1/N}{\Big ]}}$

${\displaystyle \propto \max _{x}\prod _{k=1}^{N}\mathbb {E} {\Big [}G_{k}(x)^{1/N}{\Big ]}}$ (indépendance)

${\displaystyle \propto \max _{x}{\Big (}\mathbb {E} {\Big [}G(x)^{1/N}{\Big ]}{\Big )}^{N}}$ (identiquement distribuées)

${\displaystyle {d \over dx}=N{\Big (}\mathbb {E} {\Big [}G(x)^{1/N}{\Big ]}{\Big )}^{N-1}\mathbb {E} {\Big [}{1 \over N}G(x)^{1 \over N}{G'(x) \over G(x)}{\Big ]}=0}$

${\displaystyle \iff \mathbb {E} {\Big [}G(x)^{1/N}{G'(x) \over G(x)}{\Big ]}=0}$

Si on prend la limite pour N infini :

${\displaystyle \mathbb {E} {\Big [}{G'(x) \over G(x)}{\Big ]}=0}$

ce qui est la condition de maximisation du critère

${\displaystyle \max _{x}\mathbb {E} {\Big [}\ln G(x){\Big ]}}$

Summarize Timeline Fact Check

Il y a 2 résultats possibles : gagner ou perdre. Probabilité de gain p. On mise x.

Loterie ${\displaystyle <p:1+bx\,\,;\,\,(1-p):1-cx>}$

b est le rendement (cote) en cas de gain, c est le coût relatif en cas de perte. Pour un pari classique, où on perd sa mise, c=1.

Le critère donne

${\displaystyle x^{*}={\frac {p}{c}}-{\frac {1-p}{b}}}$

Cette équation est appelée formule de Kelly.

Il y a m résultats différents i (mutuellement exclusifs) sur chacun desquels miser x_i. Exemple : course hippique.

Loterie ${\displaystyle <p_{i}:1-\sum x_{j}+(1+b_{i})x_{i}}$      ${\displaystyle ;i=1\dots m>}$

1-Σ x_j = R(x) est la part de budget non engagée.

Le critère donne

${\displaystyle p_{i}{\frac {b_{i}}{R+b_{i}x_{i}}}-\sum _{j}p_{j}{\frac {1}{R+b_{j}x_{j}}}=0}$      ${\displaystyle i=1\dots m}$

La règle est de miser sur les résultats dont ${\displaystyle p_{i}>R/b_{i}}$ dans des proportions égales à ${\displaystyle p_{i}-R/b_{i}}$. Voir formule de Kelly.