Critère de Stoner

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Le critère de Stoner est une condition nécessaire pour que l'ordre ferromagnétique apparaisse dans un modèle simplifié d'un solide. Il porte le nom du physicien Edmund Clifton Stoner (en).

Le ferromagnétisme découle directement de la répulsion électron-électron. Le modèle simplifié d'un solide, communément appelé modèle de Stoner, peut être formulé en termes de relations de dispersion pour les électrons de spin up et spin down,

E_{\uparrow }(k)=\epsilon (k)-I{\frac {N_{\uparrow }-N_{\downarrow }}{N}},\qquad E_{\downarrow }(k)=\epsilon (k)+I{\frac {N_{\uparrow }-N_{\downarrow }}{N}},

où le second terme rend compte de l'énergie d'échange, $I$ est le paramètre de Stoner, $N_{\uparrow }/N$ ( $N_{\downarrow }/N$ ) est la densité sans dimension ^{[note 1]} des électrons de spin up (down) et $\epsilon (k)$ est la relation de dispersion des électrons sans spin où l'interaction électron-électron n'est pas prise en compte. Si $N_{\uparrow }+N_{\downarrow }$ est fixé, $E_{\uparrow }(k),E_{\downarrow }(k)$ peut être utilisé pour calculer l'énergie totale du système en fonction de sa polarisation $P=(N_{\uparrow }-N_{\downarrow })/N$ . Si l'énergie totale la plus faible est trouvée pour $P=0$ , le système préfère rester paramagnétique mais pour des valeurs plus grandes de $I$ , des états fondamentaux polarisés se produisent. On peut montrer que pour

ID(E_{\rm {F}})>1

L'état $P=0$ passera spontanément dans un état polarisé. C'est le critère de Stoner, exprimé en termes de $P=0$ densité d'états ^{[note 1]} à l'énergie de Fermi $D(E_{\rm {F}})$ .

Un état $P$ non-nul peut être préféré à $P=0$ avant même que le critère de Stoner ne soit rempli.

Relation avec le modèle de Hubbard

Le modèle de Stoner peut être obtenu à partir du modèle de Hubbard en appliquant l'approximation du champ moyen. Les opérateurs de densité de particules sont écrits comme leur valeur moyenne $\langle n_{i}\rangle$ plus les fluctuations $n_{i}-\langle n_{i}\rangle$ et le produit des fluctuations de spin-up et spin-down est négligé. On obtient ^{[note 1]}

H=U\sum _{i}n_{i,\uparrow }\langle n_{i,\downarrow }\rangle +n_{i,\downarrow }\langle n_{i,\uparrow }\rangle -\langle n_{i,\uparrow }\rangle \langle n_{i,\downarrow }\rangle -t\sum _{\langle i,j\rangle ,\sigma }(c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }+h.c).

Avec le troisième terme inclus, qui a été omis dans la définition ci-dessus, nous arrivons à la forme la plus connue du critère de Stoner

D(E_{\rm {F}})U>1.

Bibliographie

Notes et références

1 2 3 Having a lattice model in mind, ${\textstyle N}$ is the number of lattice sites and $N_{\uparrow }$ is the number of spin-up electrons in the whole system. The density of states has the units of inverse energy. On a finite lattice, $\epsilon (k)$ is replaced by discrete levels $\epsilon _{i}$ and then $D(E)=\sum _{i}\delta (E-\epsilon _{i})$ .

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