Cube de Hilbert

En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit ${\displaystyle K=\left[0,1\right]^{\mathbb {N} }}$ muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.

Pour tout ${\displaystyle p\in [1,\infty [}$, le cube de Hilbert est homéomorphe au sous-espace suivant de l'espace de suites ${\displaystyle \ell ^{p}}$, défini par deux éléments quelconques b et c de ${\displaystyle \ell ^{p}}$ tels que ${\displaystyle \forall n,b_{n}<c_{n}}$^[1] :

${\displaystyle \{x\in \ell ^{p}\mid \forall n\quad b_{n}\leq x_{n}\leq c_{n}\}}$.

Il est donc métrisable et par conséquent (puisqu'il est compact), séparable^[2] et possède la propriété suivante^[3] :

Tout espace métrisable et séparable^[4] est homéomorphe à un sous-espace de K.

Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.