Cube de Jérusalem

Soit le rapport d'homothétie:

${\displaystyle k={\sqrt {2}}-1}$

Soient ${\displaystyle f_{i}}$ les huit vecteurs de translation pour les positions des huit cubes de rang 1 à la première itération:

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{8}f_{i}={\Bigl \{}{\bigl (}a(1-k),b(1-k),c(1-k){\bigr )}{\big /}a,b,c\in \{0,1\}{\Bigr \}}}$

Soient ${\displaystyle g_{j}}$ les douze vecteurs de translation pour les positions des douze cubes de rang 2 à la première itération:

${\displaystyle \bigcup _{j=1}^{12}g_{j}={\Bigl \{}{\bigl (}a,b,c{\bigr )}{\big /}a,b,c\in \{0,k,1-k^{2}\}{\mbox{ et exactement un des }}a,b,c{\mbox{ vaut }}k{\Bigr \}}}$

L'opération de translation de vecteur v d'un ensemble C de points p de ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ est définie par:

${\displaystyle T_{v}(C)={\Bigl \{}p+v{\big /}p\in C{\Bigr \}}{\mbox{ où }}p+v{\mbox{ correspond à }}(p_{0}+v_{0},p_{1}+v_{1},p_{2}+v_{2})}$

L'opération d'homothétie de ratio r d'un ensemble C de points p de ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ est définie par:

${\displaystyle H_{r}(C)={\Bigl \{}rp{\big /}p\in C{\Bigr \}}{\mbox{ où }}rp{\mbox{ correspond à }}(rp_{0},rp_{1},rp_{2})}$

Soit le cube unité:

${\displaystyle C_{0}={\Bigl \{}p={\bigl (}x,y,z{\bigr )}\in \left[0,1\right]^{3}{\mbox{ dans }}\mathbb {R} ^{3}{\Bigr \}}}$

Le cube de Jérusalem d'itération n est défini par:

${\displaystyle C_{n}={\Bigl \{}\bigcup _{i=1}^{8}T_{f_{i}}{\bigl (}H_{k}(C_{n-1}){\bigr )}{\Bigr \}}\bigcup {\Bigl \{}\bigcup _{j=1}^{12}T_{g_{j}}{\bigl (}H_{k^{2}}(C_{n-1}){\bigr )}{\Bigr \}}}$

Le cube de Jérusalem est finalement:

${\displaystyle C=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }C_{n}}$

C'est aussi la limite de ${\displaystyle C_{n}}$ quand n tend vers l'infini, car nous avons ${\displaystyle C_{n}\cap C_{n-1}=C_{n}}$