Demi-groupe de Munn

Pour tout demi-treillis ${\displaystyle E}$, le demi-treillis des idempotents du demi-groupe de Munn ${\displaystyle T_{E}}$ est isomorphe à ${\displaystyle E}$.

Soit ${\displaystyle E=\{0,1,2,...\}}$ l'ensemble des entiers naturel. Alors ${\displaystyle E}$ est un demi-treillis pour l'ordre usuel (${\displaystyle 0<1<2<\cdots }$). Les idéaux principaux de ${\displaystyle E}$ sont les parties finies ${\displaystyle En=\{0,1,2,\dots ,n\}}$ pour tout ${\displaystyle n}$. Par conséquent, deux idéaux principaux ${\displaystyle Em}$ et ${\displaystyle En}$ sont isomorphes si et seulement si ${\displaystyle m=n}$. L'ensemble ${\displaystyle T_{n,n}}$ des isomorphismes est réduit à l'application identité ${\displaystyle 1_{En}}$ de En sur lui-même, et ${\displaystyle T_{m,n}=\emptyset }$ si ${\displaystyle m\neq n}$. On a donc ${\displaystyle T_{E}=\{1_{E0},1_{E1},1_{E2},\ldots \}}$ et comme tous ces éléments sont idempotents, ${\displaystyle T_{E}}$ est isomorphe à ${\displaystyle E}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Munn semigroup » (voir la liste des auteurs).
• (en) John M. Howie, Fundamentals of semigroup theory, Oxford, Clarandon Press, 1995, 351 p. (ISBN 0-19-851194-9), chap. 5.4 (« The Munn semigroup »), p. 162-165.

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