Idéal principal

Soit A un anneau.

• Un idéal à droite I est dit principal à droite s'il est égal à l'idéal à droite engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = aA := { ax | x ∈ A }.
• Un idéal à gauche I est dit principal à gauche s'il est égal à l'idéal à gauche engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = Aa := { xa | x ∈ A }.
• Un idéal bilatère I est dit principal s'il est égal à l'idéal bilatère engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = AaA := { x₁ay₁ + … + x_nay_n | n ∈ N, x₁, y₁, …, x_n, y_n ∈ A }.

Si A est commutatif, ces trois notions coïncident et l'idéal engendré par a est noté (a).

Pour un anneau intègre A contenant un élément a non nul et non inversible, l'idéal engendré par a et Y dans l'anneau de polynômes A[Y] n'est pas principal^[1].

Un exemple d'une telle situation est A = ℤ l'anneau des entiers relatifs car il existe un entier a ${\displaystyle \neq }$ 0, 1 et –1, ou encore, A = B[X] pour un anneau intègre B et a = X.