Diagramme de Penrose-Carter

Première étape

La première étape consiste à exprimer la métrique en coordonnées sphériques usuelles^[14]. On définit ${\displaystyle r}$^[17] :

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

et les coordonnées sphériques associées ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$, reliées aux coordonnées cartésiennes ${\displaystyle (x,y,z)}$ par^[18],[19] :

${\displaystyle {\begin{cases}x&=r\sin \phi \cos \theta \\y&=r\sin \phi \sin \theta \\z&=r\cos \phi \end{cases}}}$

où :

• ${\displaystyle r}$ est le rayon-coordonnée ;
• ${\displaystyle \theta }$ est la longitude ;
• ${\displaystyle \phi }$ est la colatitude.

En coordonnées ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$, la métrique s'écrit^[20],[21] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)}$.

La première étape permet d'obtenir une métrique comportant une partie angulaire ${\displaystyle \left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)}$ qui est la métrique d'une sphère unité usuelle, c'est-à-dire d'une 2-sphère ${\displaystyle \left(\mathbb {S} ^{2}\right)}$ de rayon 1 dans l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$^[22].

Deuxième étape

La deuxième étape consiste à effectuer un changement de coordonnées afin de remplacer ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle r}$ par deux coordonnées de genre lumière^[23]. On pose^[24] :

${\displaystyle v=t+r}$ et ${\displaystyle w=t-r}$,

où ${\displaystyle v}$ et ${\displaystyle w}$ sont respectivement la coordonnée avancée et la coordonnée retardée^[25]. En coordonnées ${\displaystyle (v,w,\theta ,\phi )}$, la métrique s'écrit^[26],[27] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} v\mathrm {d} w+{\frac {1}{4}}\left(v-w\right)^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)}$.

Les coordonnées ${\displaystyle (v,w)}$ sont dites coordonnées du cône de lumière^[22].

Troisième étape

La troisième étape consiste à compacifier la métrique en effectuant un nouveau changement de coordonnées. On pose^[26] :

${\displaystyle \tan {p}=v}$ et ${\displaystyle \tan {q}=w}$, avec ${\displaystyle p\geq {q}}$.

En coordonnées ${\displaystyle (p,q,\theta ,\phi )}$, la métrique s'écrit^[26],[28] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {1}{\cos ^{2}p\cos ^{2}q}}\left[-\mathrm {d} p\mathrm {d} q+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left(p-q\right)\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)\right]}$.

Quatrième étape

La quatrième et dernière étape consiste à effectuer un changement de coordonnées afin de remplacer ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ par des coordonnées standards. On pose^[26] :

${\displaystyle T=p+q}$ et ${\displaystyle R=p-q}$.

En coordonnées ${\displaystyle (T,R,\theta ,\phi )}$, la métrique s'écrit^[26] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)}{4\cos ^{2}\left[{\frac {1}{2}}\left(T+R\right)\right]\cos ^{2}\left[{\frac {1}{2}}\left(T-R\right)\right]}}}$.

Elle peut être exprimée sous la forme^[29] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\Omega ^{-2}\mathrm {d} {\bar {s}}^{2}\Longleftrightarrow \mathrm {d} {\bar {s}}^{2}=\Omega ^{2}\mathrm {d} s^{2}}$,

où^[30] :

• ${\displaystyle \Omega }$ est le facteur conforme ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {s}}^{2}}$ est la métrique conforme (ou conformément reliée) à ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$.

Dans le cas de la métrique de Minkowski, ${\displaystyle \Omega }$ est donné par^[31],[32] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\cos {T}+\cos {R}\\&=2\cos {p}\cos {q}\\&={\frac {2}{{\sqrt {v^{2}+1}}{\sqrt {w^{2}+1}}}}\\&={\frac {2}{{\sqrt {p(t-r)^{2}+1}}{\sqrt {p(t+r)^{2}+1}}}}\end{aligned}}}$

et ${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {s}}^{2}}$ est donnée par^[26],[33] :

${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {s}}^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} R^{2}+R^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;\mathrm {d} \phi ^{2}\right)}$.

On trace le diagramme en utilisant celle-ci.

Étude cinématique dans le diagramme de Penrose

En vert, on a représenté la trajectoire d'un mobile qui reste à distance du trou noir. Il émerge de I-, reste constamment dans son cône de lumière matérialisé par le « V » en pointillés (l'ensemble de ses vitesses permises, c'est-à-dire telles que |v| < c), puis atteint l'infini de l'avenir.

En rouge, on a représenté la trajectoire d'un mobile qui arrive de l'infini, se rapproche du trou noir puis dépasse l'horizon. On voit aisément qu'une fois au-delà de la droite r = 2M, en raison de la forme des cônes de lumière, quelle que soit la vitesse ultérieure du mobile, il ne peut que finir sur la singularité matérialisée par la droite du haut.