Métrique (physique)

En relativité restreinte et en relativité générale, une métrique est un invariant relativiste infinitésimal ayant la dimension d'une longueur. Mathématiquement, il s'agit d'un tenseur métrique relatif à la variété différentielle représentant l'espace-temps physique. En relativité générale, une métrique dans un référentiel contient toutes les informations sur la gravitation telle qu'elle y est perçue.

Une métrique d'espace-temps^[1] — ou, simplement, une métrique^[2] — est une métrique lorentzienne^[3],[4] c.-à-d. une métrique pseudo-riemannienne dont la signature est ${\displaystyle (-,+,+,...,+)}$^{[N 1]}. Elle s'exprime sous la forme d'une somme algébrique de ${\displaystyle n}$ carrés de formes différentielles linéaires^[5]. Le nombre n est égal à celui des composantes covariantes non nulles ${\displaystyle \left(g_{\mu \nu }\neq 0\right)}$ du tenseur métrique ${\displaystyle g}$^[6].

Une métrique est l'expression, en coordonnées locales, de la forme quadratique associée à la forme bilinéaire, symétrique et non dégénérée, qu'est le tenseur métrique^[7].

En relativité générale, une métrique est une solution de l'équation d'Einstein^[8].

En relativité générale, la métrique est reliée au tenseur métrique par^[9] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\eta _{\alpha \beta }{\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}\mathrm {d} x^{\mu }{\frac {\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\nu }}}\mathrm {d} x^{\nu }=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }}$,

avec^[9] :

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \xi ^{\beta }}{\partial x^{\nu }}}\eta _{\alpha \beta }}$

La notation ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ est due à Gauss^[10],[11].