Distance produit

En mathématiques, une distance produit est une distance définie sur le produit cartésien d'un nombre fini d'espaces métriques qui soit compatible avec la topologie produit^[1].

En particulier, pour n espaces métriques (X₁,d_X1) ... (X_n, d_Xn), on peut définir les distances produit de degré p pour ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ comme la norme p du vecteur de dimension n dont les coordonnées sont les n distances mesurées dans les différents espaces :

${\displaystyle d_{p}((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=\|\left(d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right)\|_{p}}$

Pour ${\displaystyle p=\infty }$ cette distance est également appelée distance-sup :

${\displaystyle d_{\infty }((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})):=\max \left\{d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right\}.}$