Dodécaèdre tronqué

Ce polyèdre peut être formé à partir d'un dodécaèdre par troncature des coins, donc les faces pentagonales deviennent des décagones et les coins deviennent des triangles^[1].

Les coordonnées cartésiennes suivantes définissent les sommets d'un dodécaèdre tronqué centré à l'origine^[1] :

${\displaystyle (0,\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm (2+\varphi ))\,}$

${\displaystyle (\pm (2+\varphi ),0,\pm {\frac {1}{\varphi }})\,}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm (2+\varphi ),0)\,}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi ,\pm 2\varphi )\,}$

${\displaystyle (\pm 2\varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi )\,}$

${\displaystyle (\pm \varphi ,\pm 2\varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }})\,}$

${\displaystyle (\pm \varphi ,\pm 2,\pm \varphi ^{2})\,}$

${\displaystyle (\pm \varphi ^{2},\pm \varphi ,\pm 2)\,}$

${\displaystyle (\pm 2,\pm \varphi ^{2},\pm \varphi )\,}$

où ${\displaystyle \varphi ={\frac {(1+{\sqrt {5}})}{2}}}$ est le nombre d'or. En utilisant ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$, on vérifie que tous les sommets sont sur une sphère, centrée à l'origine. R rayon de la sphère circonscrite et a longueur de chaque arête sont liés par la relation :

${\displaystyle {\frac {a}{R}}=2{\sqrt {\frac {7-4\varphi }{17+\varphi }}}}$

• dodécaèdre
• icosaèdre
• icosidodécaèdre
• icosaèdre tronqué